Theorem cnaddablx 18037

Description: The complex numbers are an Abelian group under addition. This version of cnaddabl 18038 shows the explicit structure "scaffold" we chose for the definition for Abelian groups. Note: This theorem has hard-coded structure indices for demonstration purposes. It is not intended for general use; use cnaddabl 18038 instead. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 18-Oct-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnaddablx.g	⊢ 𝐺 = {⟨1, ℂ⟩, ⟨2, + ⟩}

Assertion

Ref	Expression
cnaddablx	⊢ 𝐺 ∈ Abel

Proof of Theorem cnaddablx

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 9870	. . 3 ⊢ ℂ ∈ V
2		addex 11659	. . 3 ⊢ + ∈ V
3		cnaddablx.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = {⟨1, ℂ⟩, ⟨2, + ⟩}
4		addcl 9871	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
5		addass 9876	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
6		0cn 9885	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
7		addid2 10067	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
8		negcl 10129	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
9		addcom 10070	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + -𝑥) = (-𝑥 + 𝑥))
10	8, 9	mpdan 698	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 + -𝑥) = (-𝑥 + 𝑥))
11		negid 10176	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 + -𝑥) = 0)
12	10, 11	eqtr3d 2642	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (-𝑥 + 𝑥) = 0)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12	isgrpix 17215	. 2 ⊢ 𝐺 ∈ Grp
14	1, 2, 3	grpbasex 15762	. 2 ⊢ ℂ = (Base‘𝐺)
15	1, 2, 3	grpplusgx 15763	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
16		addcom 10070	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
17	13, 14, 15, 16	isabli 17973	1 ⊢ 𝐺 ∈ Abel

Syntax hints:   = wceq 1474   ∈ wcel 1976  {cpr 4123  ⟨cop 4127  (class class class)co 6524  ℂcc 9787  0cc0 9789  1c1 9790   + caddc 9792  -cneg 10115  2c2 10914  Abelcabl 17960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-addf 9868

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-oadd 7425  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-nn 10865  df-2 10923  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-fz 12150  df-struct 15640  df-ndx 15641  df-slot 15642  df-base 15643  df-plusg 15724  df-0g 15868  df-mgm 17008  df-sgrp 17050  df-mnd 17061  df-grp 17191  df-cmn 17961  df-abl 17962

This theorem is referenced by: (None)