Theorem cnaddablx 18317

Description: The complex numbers are an Abelian group under addition. This version of cnaddabl 18318 shows the explicit structure "scaffold" we chose for the definition for Abelian groups. Note: This theorem has hard-coded structure indices for demonstration purposes. It is not intended for general use; use cnaddabl 18318 instead. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 18-Oct-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnaddablx.g	⊢ 𝐺 = {⟨1, ℂ⟩, ⟨2, + ⟩}

Assertion

Ref	Expression
cnaddablx	⊢ 𝐺 ∈ Abel

Proof of Theorem cnaddablx

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 10055	. . 3 ⊢ ℂ ∈ V
2		addex 11868	. . 3 ⊢ + ∈ V
3		cnaddablx.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = {⟨1, ℂ⟩, ⟨2, + ⟩}
4		addcl 10056	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
5		addass 10061	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
6		0cn 10070	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
7		addid2 10257	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
8		negcl 10319	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
9		addcom 10260	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + -𝑥) = (-𝑥 + 𝑥))
10	8, 9	mpdan 703	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 + -𝑥) = (-𝑥 + 𝑥))
11		negid 10366	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 + -𝑥) = 0)
12	10, 11	eqtr3d 2687	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (-𝑥 + 𝑥) = 0)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12	isgrpix 17496	. 2 ⊢ 𝐺 ∈ Grp
14	1, 2, 3	grpbasex 16041	. 2 ⊢ ℂ = (Base‘𝐺)
15	1, 2, 3	grpplusgx 16042	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
16		addcom 10260	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
17	13, 14, 15, 16	isabli 18253	1 ⊢ 𝐺 ∈ Abel

Syntax hints:   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  {cpr 4212  ⟨cop 4216  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  -cneg 10305  2c2 11108  Abelcabl 18240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-addf 10053

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-cmn 18241  df-abl 18242

This theorem is referenced by: (None)