MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnaddinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnaddinv 18040
Description: Value of the group inverse of complex number addition. See also cnfldneg 19534. (Contributed by Steve Rodriguez, 3-Dec-2006.) (Revised by AV, 26-Aug-2021.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
cnaddabl.g 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
Assertion
Ref Expression
cnaddinv (𝐴 ∈ ℂ → ((invg𝐺)‘𝐴) = -𝐴)

Proof of Theorem cnaddinv
StepHypRef Expression
1 negid 10176 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
2 cnaddabl.g . . . . 5 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
32cnaddabl 18038 . . . 4 𝐺 ∈ Abel
4 ablgrp 17964 . . . 4 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
53, 4ax-mp 5 . . 3 𝐺 ∈ Grp
6 id 22 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
7 negcl 10129 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
8 cnex 9870 . . . . 5 ℂ ∈ V
92grpbase 15759 . . . . 5 (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘𝐺))
108, 9ax-mp 5 . . . 4 ℂ = (Base‘𝐺)
11 addex 11659 . . . . 5 + ∈ V
122grpplusg 15760 . . . . 5 ( + ∈ V → + = (+g𝐺))
1311, 12ax-mp 5 . . . 4 + = (+g𝐺)
142cnaddid 18039 . . . . 5 (0g𝐺) = 0
1514eqcomi 2615 . . . 4 0 = (0g𝐺)
16 eqid 2606 . . . 4 (invg𝐺) = (invg𝐺)
1710, 13, 15, 16grpinvid1 17236 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → (((invg𝐺)‘𝐴) = -𝐴 ↔ (𝐴 + -𝐴) = 0))
185, 6, 7, 17mp3an2i 1420 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (((invg𝐺)‘𝐴) = -𝐴 ↔ (𝐴 + -𝐴) = 0))
191, 18mpbird 245 1 (𝐴 ∈ ℂ → ((invg𝐺)‘𝐴) = -𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3169  {cpr 4123  cop 4127  cfv 5787  (class class class)co 6524  cc 9787  0cc0 9789   + caddc 9792  -cneg 10115  ndxcnx 15635  Basecbs 15638  +gcplusg 15711  0gc0g 15866  Grpcgrp 17188  invgcminusg 17189  Abelcabl 17960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-addf 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-oadd 7425  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-nn 10865  df-2 10923  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-fz 12150  df-struct 15640  df-ndx 15641  df-slot 15642  df-base 15643  df-plusg 15724  df-0g 15868  df-mgm 17008  df-sgrp 17050  df-mnd 17061  df-grp 17191  df-minusg 17192  df-cmn 17961  df-abl 17962
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator