Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnambfre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnambfre 32411
Description: A real-valued, a.e. continuous function is measurable. (Contributed by Brendan Leahy, 4-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
cnambfre ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → 𝐹 ∈ MblFn)

Proof of Theorem cnambfre
Dummy variables 𝑓 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
21feqmptd 6143 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)))
32cnveqd 5207 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)))
43imaeq1d 5370 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹𝑏) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) “ 𝑏))
54ad2antrr 757 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) → (𝐹𝑏) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) “ 𝑏))
6 exmid 429 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∨ ¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥))
76biantrur 525 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑥) ∈ 𝑏 ↔ ((𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∨ ¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏))
8 andir 907 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∨ ¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏) ↔ ((𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏) ∨ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)))
97, 8bitri 262 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑥) ∈ 𝑏 ↔ ((𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏) ∨ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)))
10 retopbas 22321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ran (,) ∈ TopBases
11 bastg 20528 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
1312sseli 3563 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ∈ ran (,) → 𝑏 ∈ (topGen‘ran (,)))
1413ad2antlr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑏 ∈ (topGen‘ran (,)))
15 cnpimaex 20817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ 𝑏 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏) → ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))
16153com12 1260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏) → ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))
17163expa 1256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏) → ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))
1814, 17sylanl1 679 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏) → ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))
1918ex 448 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)) → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑏 → ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)))
20 simprrr 800 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ (𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))) → (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)
21 ffn 5943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝐴)
2221adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 Fn 𝐴)
23 restsspw 15863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴
2423sseli 3563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝐴)
2524elpwid 4117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) → 𝑦𝐴)
26 simpl 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏) → 𝑥𝑦)
27 fnfvima 6377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 Fn 𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦) → (𝐹𝑥) ∈ (𝐹𝑦))
2822, 25, 26, 27syl3an 1359 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)) → (𝐹𝑥) ∈ (𝐹𝑦))
29283expb 1257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ (𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))) → (𝐹𝑥) ∈ (𝐹𝑦))
3020, 29sseldd 3568 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ (𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)
3130rexlimdvaa 3013 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑏))
3231ad3antrrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)) → (∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑏))
3319, 32impbid 200 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)) → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑏 ↔ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)))
3433pm5.32da 670 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏) ↔ (𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))))
35 r19.42v 3072 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)) ↔ (𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)))
3634, 35syl6bbr 276 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏) ↔ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))))
3736orbi1d 734 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏) ∨ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)) ↔ (∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)) ∨ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏))))
389, 37syl5bb 270 . . . . . . . 8 ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑏 ↔ (∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)) ∨ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏))))
3938rabbidva 3162 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏} = {𝑥𝐴 ∣ (∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)) ∨ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏))})
40 eqid 2609 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥))
4140mptpreima 5530 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) “ 𝑏) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏}
42 unrab 3856 . . . . . . 7 ({𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))} ∪ {𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)}) = {𝑥𝐴 ∣ (∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)) ∨ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏))}
4339, 41, 423eqtr4g 2668 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) “ 𝑏) = ({𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))} ∪ {𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)}))
445, 43eqtrd 2643 . . . . 5 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) → (𝐹𝑏) = ({𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))} ∪ {𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)}))
45443adantl3 1211 . . . 4 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) → (𝐹𝑏) = ({𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))} ∪ {𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)}))
46 incom 3766 . . . . . . . . 9 ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∩ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) = ({𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)} ∩ 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)})
47 dfin4 3825 . . . . . . . . 9 ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∩ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) = ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}))
48 inrab 3857 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)} ∩ {𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)}) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))}
4948a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) → ({𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)} ∩ {𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)}) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))})
5049iuneq2i 4469 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)({𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)} ∩ {𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)}) = 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))}
51 iunin2 4514 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)({𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)} ∩ {𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)}) = ({𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)} ∩ 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)})
52 iunrab 4497 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))} = {𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))}
5350, 51, 523eqtr3i 2639 . . . . . . . . 9 ({𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)} ∩ 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)}) = {𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))}
5446, 47, 533eqtr3i 2639 . . . . . . . 8 ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)})) = {𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))}
55 eqeq2 2620 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅) → ({𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} = 𝑦 ↔ {𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} = if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅)))
56 eqeq2 2620 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ = if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅) → ({𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} = ∅ ↔ {𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} = if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅)))
57 simprrl 799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))) → 𝑥𝑦)
5825adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏) → 𝑦𝐴)
5958sselda 3567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝐴)
60 pm3.22 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏𝑥𝑦) → (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))
6160adantll 745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))
6259, 61jca 552 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝐴 ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)))
6357, 62impbida 872 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏) → ((𝑥𝐴 ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)) ↔ 𝑥𝑦))
6463abbidv 2727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏) → {𝑥 ∣ (𝑥𝐴 ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))} = {𝑥𝑥𝑦})
65 df-rab 2904 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} = {𝑥 ∣ (𝑥𝐴 ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))}
66 cvjust 2604 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦 = {𝑥𝑥𝑦}
6764, 65, 663eqtr4g 2668 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏) → {𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} = 𝑦)
68 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏) → (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)
6968con3i 148 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏 → ¬ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))
7069ralrimivw 2949 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏 → ∀𝑥𝐴 ¬ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))
71 rabeq0 3910 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} = ∅ ↔ ∀𝑥𝐴 ¬ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))
7270, 71sylibr 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏 → {𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} = ∅)
7372adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∧ ¬ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏) → {𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} = ∅)
7455, 56, 67, 73ifbothda 4072 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) → {𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} = if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅))
7574iuneq2i 4469 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} = 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅)
76 retop 22322 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
77 resttop 20721 . . . . . . . . . . . . . 14 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Top)
7876, 77mpan 701 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom vol → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Top)
79 0opn 20481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Top → ∅ ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ dom vol → ∅ ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
81 ifcl 4079 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∧ ∅ ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)) → if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
8281ancoms 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∅ ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)) → if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
8380, 82sylan 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)) → if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
8483ralrimiva 2948 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
85 iunopn 20475 . . . . . . . . . . . . 13 ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Top ∧ ∀𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)) → 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
8678, 84, 85syl2anc 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom vol → 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
87 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . 13 ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)
8887subopnmbl 23122 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)) → 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅) ∈ dom vol)
8986, 88mpdan 698 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom vol → 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅) ∈ dom vol)
9075, 89syl5eqel 2691 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom vol → 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∈ dom vol)
9190adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∈ dom vol)
92 difss 3698 . . . . . . . . . . . . 13 ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) ⊆ 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)}
93 ssrab2 3649 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ⊆ 𝐴
9493rgenw 2907 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ⊆ 𝐴
95 iunss 4491 . . . . . . . . . . . . . 14 ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ⊆ 𝐴)
9694, 95mpbir 219 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ⊆ 𝐴
9792, 96sstri 3576 . . . . . . . . . . . 12 ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) ⊆ 𝐴
98 mblss 23050 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
9997, 98syl5ss 3578 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom vol → ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) ⊆ ℝ)
10099adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) ⊆ ℝ)
101 ssdif 3706 . . . . . . . . . . . . . 14 ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ⊆ 𝐴 → ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) ⊆ (𝐴 ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}))
10296, 101ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) ⊆ (𝐴 ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)})
103 ovex 6554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (ℝ ↑𝑚 𝐴) ∈ V
104103rabex 4734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐴) ∣ ∀𝑏 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑓𝑥) ∈ 𝑏 → ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝑓𝑦) ⊆ 𝑏))} ∈ V
105 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥𝐴 ↦ {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐴) ∣ ∀𝑏 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑓𝑥) ∈ 𝑏 → ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝑓𝑦) ⊆ 𝑏))}) = (𝑥𝐴 ↦ {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐴) ∣ ∀𝑏 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑓𝑥) ∈ 𝑏 → ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝑓𝑦) ⊆ 𝑏))})
106104, 105fnmpti 5920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝐴 ↦ {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐴) ∣ ∀𝑏 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑓𝑥) ∈ 𝑏 → ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝑓𝑦) ⊆ 𝑏))}) Fn 𝐴
107 retopon 22324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
108 resttopon 20722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
109107, 98, 108sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ dom vol → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
110 cnpfval 20795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴) ∧ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)) → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) = (𝑥𝐴 ↦ {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐴) ∣ ∀𝑏 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑓𝑥) ∈ 𝑏 → ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝑓𝑦) ⊆ 𝑏))}))
111109, 107, 110sylancl 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ dom vol → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) = (𝑥𝐴 ↦ {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐴) ∣ ∀𝑏 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑓𝑥) ∈ 𝑏 → ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝑓𝑦) ⊆ 𝑏))}))
112111fneq1d 5880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ dom vol → ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) Fn 𝐴 ↔ (𝑥𝐴 ↦ {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐴) ∣ ∀𝑏 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑓𝑥) ∈ 𝑏 → ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝑓𝑦) ⊆ 𝑏))}) Fn 𝐴))
113106, 112mpbiri 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ dom vol → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) Fn 𝐴)
114 elpreima 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) “ ( E “ {𝐹})) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∈ ( E “ {𝐹}))))
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ dom vol → (𝑥 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) “ ( E “ {𝐹})) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∈ ( E “ {𝐹}))))
116 rele 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Rel E
117 elrelimasn 5394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Rel E → (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∈ ( E “ {𝐹}) ↔ 𝐹 E ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)))
118116, 117ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∈ ( E “ {𝐹}) ↔ 𝐹 E ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥))
119 fvex 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∈ V
120119epelc 4940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹 E ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ↔ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥))
121118, 120bitr2i 263 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ↔ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∈ ( E “ {𝐹}))
122121anbi2i 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∈ ( E “ {𝐹})))
123115, 122syl6rbbr 277 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ dom vol → ((𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)) ↔ 𝑥 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) “ ( E “ {𝐹}))))
124123abbidv 2727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ dom vol → {𝑥 ∣ (𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥))} = {𝑥𝑥 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) “ ( E “ {𝐹}))})
125 df-rab 2904 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)} = {𝑥 ∣ (𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥))}
126 imaco 5542 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}) = ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) “ ( E “ {𝐹}))
127 abid2 2731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑥𝑥 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) “ ( E “ {𝐹}))} = ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) “ ( E “ {𝐹}))
128126, 127eqtr4i 2634 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}) = {𝑥𝑥 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) “ ( E “ {𝐹}))}
129124, 125, 1283eqtr4g 2668 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ dom vol → {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)} = (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))
130129difeq2d 3689 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom vol → (𝐴 ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) = (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})))
131102, 130syl5sseq 3615 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom vol → ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) ⊆ (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})))
132 difss 3698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})) ⊆ 𝐴
133132, 98syl5ss 3578 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom vol → (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})) ⊆ ℝ)
134131, 133jca 552 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom vol → (( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) ⊆ (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})) ∧ (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})) ⊆ ℝ))
135 ovolssnul 23006 . . . . . . . . . . . 12 ((( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) ⊆ (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})) ∧ (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → (vol*‘( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)})) = 0)
1361353expa 1256 . . . . . . . . . . 11 (((( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) ⊆ (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})) ∧ (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})) ⊆ ℝ) ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → (vol*‘( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)})) = 0)
137134, 136sylan 486 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → (vol*‘( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)})) = 0)
138 nulmbl 23054 . . . . . . . . . 10 ((( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)})) = 0) → ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) ∈ dom vol)
139100, 137, 138syl2anc 690 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) ∈ dom vol)
140 difmbl 23062 . . . . . . . . 9 (( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∈ dom vol ∧ ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) ∈ dom vol) → ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)})) ∈ dom vol)
14191, 139, 140syl2anc 690 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)})) ∈ dom vol)
14254, 141syl5eqelr 2692 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → {𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))} ∈ dom vol)
143 ssrab2 3649 . . . . . . . . . 10 {𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)} ⊆ 𝐴
144143, 98syl5ss 3578 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom vol → {𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)} ⊆ ℝ)
145144adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → {𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)} ⊆ ℝ)
146126eleq2i 2679 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}) ↔ 𝑥 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) “ ( E “ {𝐹})))
147 ibar 523 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥𝐴 → (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∈ ( E “ {𝐹}) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∈ ( E “ {𝐹}))))
148121, 147syl5rbb 271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝐴 → ((𝑥𝐴 ∧ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∈ ( E “ {𝐹})) ↔ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)))
149115, 148sylan9bb 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) “ ( E “ {𝐹})) ↔ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)))
150146, 149syl5rbb 271 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ↔ 𝑥 ∈ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})))
151150notbid 306 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥𝐴) → (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})))
152151biimpd 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥𝐴) → (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) → ¬ 𝑥 ∈ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})))
153152adantrd 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥𝐴) → ((¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏) → ¬ 𝑥 ∈ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})))
154153ss2rabdv 3645 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom vol → {𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)} ⊆ {𝑥𝐴 ∣ ¬ 𝑥 ∈ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})})
155 dfdif2 3548 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})) = {𝑥𝐴 ∣ ¬ 𝑥 ∈ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})}
156154, 155syl6sseqr 3614 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom vol → {𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)} ⊆ (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})))
157156, 133jca 552 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom vol → ({𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)} ⊆ (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})) ∧ (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})) ⊆ ℝ))
158 ovolssnul 23006 . . . . . . . . . 10 (({𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)} ⊆ (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})) ∧ (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → (vol*‘{𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)}) = 0)
1591583expa 1256 . . . . . . . . 9 ((({𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)} ⊆ (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})) ∧ (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})) ⊆ ℝ) ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → (vol*‘{𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)}) = 0)
160157, 159sylan 486 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → (vol*‘{𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)}) = 0)
161 nulmbl 23054 . . . . . . . 8 (({𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)} ⊆ ℝ ∧ (vol*‘{𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)}) = 0) → {𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)} ∈ dom vol)
162145, 160, 161syl2anc 690 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → {𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)} ∈ dom vol)
163 unmbl 23056 . . . . . . 7 (({𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))} ∈ dom vol ∧ {𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)} ∈ dom vol) → ({𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))} ∪ {𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)}) ∈ dom vol)
164142, 162, 163syl2anc 690 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → ({𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))} ∪ {𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)}) ∈ dom vol)
1651643adant1 1071 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → ({𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))} ∪ {𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)}) ∈ dom vol)
166165adantr 479 . . . 4 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) → ({𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))} ∪ {𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)}) ∈ dom vol)
16745, 166eqeltrd 2687 . . 3 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) → (𝐹𝑏) ∈ dom vol)
168167ralrimiva 2948 . 2 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → ∀𝑏 ∈ ran (,)(𝐹𝑏) ∈ dom vol)
169 ismbf 23147 . . 3 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑏 ∈ ran (,)(𝐹𝑏) ∈ dom vol))
1701693ad2ant1 1074 . 2 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑏 ∈ ran (,)(𝐹𝑏) ∈ dom vol))
171168, 170mpbird 245 1 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → 𝐹 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  {cab 2595  wral 2895  wrex 2896  {crab 2899  cdif 3536  cun 3537  cin 3538  wss 3539  c0 3873  ifcif 4035  𝒫 cpw 4107  {csn 4124   ciun 4449   class class class wbr 4577  cmpt 4637   E cep 4936  ccnv 5026  dom cdm 5027  ran crn 5028  cima 5030  ccom 5031  Rel wrel 5032   Fn wfn 5784  wf 5785  cfv 5789  (class class class)co 6526  𝑚 cmap 7721  cr 9791  0cc0 9792  (,)cioo 12004  t crest 15852  topGenctg 15869  Topctop 20464  TopOnctopon 20465  TopBasesctb 20467   CnP ccnp 20786  vol*covol 22982  volcvol 22983  MblFncmbf 23133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-disj 4548  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-se 4987  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-isom 5798  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-omul 7429  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-acn 8628  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10536  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-4 10930  df-n0 11142  df-z 11213  df-uz 11522  df-q 11623  df-rp 11667  df-xneg 11780  df-xadd 11781  df-xmul 11782  df-ioo 12008  df-ico 12010  df-icc 12011  df-fz 12155  df-fzo 12292  df-fl 12412  df-seq 12621  df-exp 12680  df-hash 12937  df-cj 13635  df-re 13636  df-im 13637  df-sqrt 13771  df-abs 13772  df-clim 14015  df-rlim 14016  df-sum 14213  df-rest 15854  df-topgen 15875  df-psmet 19507  df-xmet 19508  df-met 19509  df-bl 19510  df-mopn 19511  df-top 20468  df-bases 20469  df-topon 20470  df-cnp 20789  df-cmp 20947  df-ovol 22984  df-vol 22985  df-mbf 23138
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator