MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnbn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnbn 26917
Description: The set of complex numbers is a complex Banach space. (Contributed by Steve Rodriguez, 4-Jan-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
cnbn.6 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
Assertion
Ref Expression
cnbn 𝑈 ∈ CBan

Proof of Theorem cnbn
StepHypRef Expression
1 cnbn.6 . . 3 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
21cnnv 26714 . 2 𝑈 ∈ NrmCVec
3 eqid 2514 . . . . 5 ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩ = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
4 eqid 2514 . . . . 5 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
53, 4cnims 26735 . . . 4 (abs ∘ − ) = (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)
65eqcomi 2523 . . 3 (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) = (abs ∘ − )
76cncmet 22814 . 2 (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) ∈ (CMet‘ℂ)
81cnnvba 26716 . . 3 ℂ = (BaseSet‘𝑈)
91fveq2i 5989 . . . 4 (IndMet‘𝑈) = (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)
109eqcomi 2523 . . 3 (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) = (IndMet‘𝑈)
118, 10iscbn 26912 . 2 (𝑈 ∈ CBan ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) ∈ (CMet‘ℂ)))
122, 7, 11mpbir2an 956 1 𝑈 ∈ CBan
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1474  wcel 1938  cop 4034  ccom 4936  cfv 5689  cc 9687   + caddc 9692   · cmul 9694  cmin 10015  abscabs 13677  CMetcms 22748  NrmCVeccnv 26609  IndMetcims 26616  CBanccbn 26910
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6721  ax-inf2 8295  ax-cnex 9745  ax-resscn 9746  ax-1cn 9747  ax-icn 9748  ax-addcl 9749  ax-addrcl 9750  ax-mulcl 9751  ax-mulrcl 9752  ax-mulcom 9753  ax-addass 9754  ax-mulass 9755  ax-distr 9756  ax-i2m1 9757  ax-1ne0 9758  ax-1rid 9759  ax-rnegex 9760  ax-rrecex 9761  ax-cnre 9762  ax-pre-lttri 9763  ax-pre-lttrn 9764  ax-pre-ltadd 9765  ax-pre-mulgt0 9766  ax-pre-sup 9767  ax-addf 9768  ax-mulf 9769
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-iin 4356  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-se 4892  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-isom 5698  df-riota 6387  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-of 6669  df-om 6832  df-1st 6932  df-2nd 6933  df-supp 7056  df-wrecs 7167  df-recs 7229  df-rdg 7267  df-1o 7321  df-2o 7322  df-oadd 7325  df-er 7503  df-map 7620  df-ixp 7669  df-en 7716  df-dom 7717  df-sdom 7718  df-fin 7719  df-fsupp 8033  df-fi 8074  df-sup 8105  df-inf 8106  df-oi 8172  df-card 8522  df-cda 8747  df-pnf 9829  df-mnf 9830  df-xr 9831  df-ltxr 9832  df-le 9833  df-sub 10017  df-neg 10018  df-div 10432  df-nn 10774  df-2 10832  df-3 10833  df-4 10834  df-5 10835  df-6 10836  df-7 10837  df-8 10838  df-9 10839  df-10OLD 10840  df-n0 11046  df-z 11117  df-dec 11232  df-uz 11424  df-q 11527  df-rp 11571  df-xneg 11684  df-xadd 11685  df-xmul 11686  df-ioo 11916  df-ico 11918  df-icc 11919  df-fz 12063  df-fzo 12200  df-seq 12529  df-exp 12588  df-hash 12845  df-cj 13542  df-re 13543  df-im 13544  df-sqrt 13678  df-abs 13679  df-struct 15602  df-ndx 15603  df-slot 15604  df-base 15605  df-sets 15606  df-ress 15607  df-plusg 15686  df-mulr 15687  df-starv 15688  df-sca 15689  df-vsca 15690  df-ip 15691  df-tset 15692  df-ple 15693  df-ds 15696  df-unif 15697  df-hom 15698  df-cco 15699  df-rest 15811  df-topn 15812  df-0g 15830  df-gsum 15831  df-topgen 15832  df-pt 15833  df-prds 15836  df-xrs 15890  df-qtop 15896  df-imas 15897  df-xps 15900  df-mre 15982  df-mrc 15983  df-acs 15985  df-mgm 16978  df-sgrp 17020  df-mnd 17031  df-submnd 17072  df-mulg 17277  df-cntz 17486  df-cmn 17947  df-psmet 19484  df-xmet 19485  df-met 19486  df-bl 19487  df-mopn 19488  df-fbas 19489  df-fg 19490  df-cnfld 19493  df-top 20445  df-bases 20446  df-topon 20447  df-topsp 20448  df-cld 20557  df-ntr 20558  df-cls 20559  df-nei 20636  df-cn 20765  df-cnp 20766  df-haus 20853  df-cmp 20924  df-tx 21099  df-hmeo 21292  df-fil 21384  df-flim 21477  df-fcls 21479  df-xms 21858  df-ms 21859  df-tms 21860  df-cncf 22433  df-cfil 22749  df-cmet 22751  df-grpo 26499  df-gid 26500  df-ginv 26501  df-gdiv 26502  df-ablo 26554  df-vc 26569  df-nv 26617  df-va 26620  df-ba 26621  df-sm 26622  df-0v 26623  df-vs 26624  df-nmcv 26625  df-ims 26626  df-cbn 26911
This theorem is referenced by:  ubth  26921  cnchl  26974
  Copyright terms: Public domain W3C validator