Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfcnvcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfcnvcn 22925
 Description: Rewrite cmphaushmeo 21805 for functions on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfcnvcn.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cncfcnvcn.k 𝐾 = (𝐽t 𝑋)
Assertion
Ref Expression
cncfcnvcn ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹 ∈ (𝑌cn𝑋)))

Proof of Theorem cncfcnvcn
StepHypRef Expression
1 simpr 479 . . . 4 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌))
2 cncfrss 22895 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌) → 𝑋 ⊆ ℂ)
32adantl 473 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → 𝑋 ⊆ ℂ)
4 cncfrss2 22896 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌) → 𝑌 ⊆ ℂ)
54adantl 473 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → 𝑌 ⊆ ℂ)
6 cncfcnvcn.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
7 cncfcnvcn.k . . . . . 6 𝐾 = (𝐽t 𝑋)
8 eqid 2760 . . . . . 6 (𝐽t 𝑌) = (𝐽t 𝑌)
96, 7, 8cncfcn 22913 . . . . 5 ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → (𝑋cn𝑌) = (𝐾 Cn (𝐽t 𝑌)))
103, 5, 9syl2anc 696 . . . 4 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → (𝑋cn𝑌) = (𝐾 Cn (𝐽t 𝑌)))
111, 10eleqtrd 2841 . . 3 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → 𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽t 𝑌)))
12 ishmeo 21764 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽t 𝑌)) ↔ (𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽t 𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽t 𝑌) Cn 𝐾)))
1312baib 982 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽t 𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽t 𝑌)) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽t 𝑌) Cn 𝐾)))
1411, 13syl 17 . 2 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽t 𝑌)) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽t 𝑌) Cn 𝐾)))
156cnfldtop 22788 . . . . . 6 𝐽 ∈ Top
166cnfldtopon 22787 . . . . . . . 8 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
1716toponunii 20923 . . . . . . 7 ℂ = 𝐽
1817restuni 21168 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → 𝑋 = (𝐽t 𝑋))
1915, 3, 18sylancr 698 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → 𝑋 = (𝐽t 𝑋))
207unieqi 4597 . . . . 5 𝐾 = (𝐽t 𝑋)
2119, 20syl6eqr 2812 . . . 4 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → 𝑋 = 𝐾)
22 f1oeq2 6289 . . . 4 (𝑋 = 𝐾 → (𝐹:𝑋1-1-onto (𝐽t 𝑌) ↔ 𝐹: 𝐾1-1-onto (𝐽t 𝑌)))
2321, 22syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → (𝐹:𝑋1-1-onto (𝐽t 𝑌) ↔ 𝐹: 𝐾1-1-onto (𝐽t 𝑌)))
2417restuni 21168 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → 𝑌 = (𝐽t 𝑌))
2515, 5, 24sylancr 698 . . . 4 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → 𝑌 = (𝐽t 𝑌))
26 f1oeq3 6290 . . . 4 (𝑌 = (𝐽t 𝑌) → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋1-1-onto (𝐽t 𝑌)))
2725, 26syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋1-1-onto (𝐽t 𝑌)))
28 simpl 474 . . . 4 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → 𝐾 ∈ Comp)
296cnfldhaus 22789 . . . . 5 𝐽 ∈ Haus
30 cnex 10209 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
3130ssex 4954 . . . . . 6 (𝑌 ⊆ ℂ → 𝑌 ∈ V)
325, 31syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → 𝑌 ∈ V)
33 resthaus 21374 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝐽t 𝑌) ∈ Haus)
3429, 32, 33sylancr 698 . . . 4 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → (𝐽t 𝑌) ∈ Haus)
35 eqid 2760 . . . . 5 𝐾 = 𝐾
36 eqid 2760 . . . . 5 (𝐽t 𝑌) = (𝐽t 𝑌)
3735, 36cmphaushmeo 21805 . . . 4 ((𝐾 ∈ Comp ∧ (𝐽t 𝑌) ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽t 𝑌))) → (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽t 𝑌)) ↔ 𝐹: 𝐾1-1-onto (𝐽t 𝑌)))
3828, 34, 11, 37syl3anc 1477 . . 3 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽t 𝑌)) ↔ 𝐹: 𝐾1-1-onto (𝐽t 𝑌)))
3923, 27, 383bitr4d 300 . 2 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽t 𝑌))))
406, 8, 7cncfcn 22913 . . . 4 ((𝑌 ⊆ ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → (𝑌cn𝑋) = ((𝐽t 𝑌) Cn 𝐾))
415, 3, 40syl2anc 696 . . 3 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → (𝑌cn𝑋) = ((𝐽t 𝑌) Cn 𝐾))
4241eleq2d 2825 . 2 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝑌cn𝑋) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽t 𝑌) Cn 𝐾)))
4314, 39, 423bitr4d 300 1 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹 ∈ (𝑌cn𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340   ⊆ wss 3715  ∪ cuni 4588  ◡ccnv 5265  –1-1-onto→wf1o 6048  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℂcc 10126   ↾t crest 16283  TopOpenctopn 16284  ℂfldccnfld 19948  Topctop 20900   Cn ccn 21230  Hauscha 21314  Compccmp 21391  Homeochmeo 21758  –cn→ccncf 22880 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-icc 12375  df-fz 12520  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-rest 16285  df-topn 16286  df-topgen 16306  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-cls 21027  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-cmp 21392  df-hmeo 21760  df-xms 22326  df-ms 22327  df-cncf 22882 This theorem is referenced by:  dvcnvrelem2  23980
 Copyright terms: Public domain W3C validator