MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfcnvcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfcnvcn 22460
Description: Rewrite cmphaushmeo 21352 for functions on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfcnvcn.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cncfcnvcn.k 𝐾 = (𝐽t 𝑋)
Assertion
Ref Expression
cncfcnvcn ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹 ∈ (𝑌cn𝑋)))

Proof of Theorem cncfcnvcn
StepHypRef Expression
1 simpr 475 . . . 4 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌))
2 cncfrss 22430 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌) → 𝑋 ⊆ ℂ)
32adantl 480 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → 𝑋 ⊆ ℂ)
4 cncfrss2 22431 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌) → 𝑌 ⊆ ℂ)
54adantl 480 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → 𝑌 ⊆ ℂ)
6 cncfcnvcn.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
7 cncfcnvcn.k . . . . . 6 𝐾 = (𝐽t 𝑋)
8 eqid 2606 . . . . . 6 (𝐽t 𝑌) = (𝐽t 𝑌)
96, 7, 8cncfcn 22448 . . . . 5 ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → (𝑋cn𝑌) = (𝐾 Cn (𝐽t 𝑌)))
103, 5, 9syl2anc 690 . . . 4 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → (𝑋cn𝑌) = (𝐾 Cn (𝐽t 𝑌)))
111, 10eleqtrd 2686 . . 3 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → 𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽t 𝑌)))
12 ishmeo 21311 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽t 𝑌)) ↔ (𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽t 𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽t 𝑌) Cn 𝐾)))
1312baib 941 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽t 𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽t 𝑌)) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽t 𝑌) Cn 𝐾)))
1411, 13syl 17 . 2 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽t 𝑌)) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽t 𝑌) Cn 𝐾)))
156cnfldtop 22326 . . . . . 6 𝐽 ∈ Top
166cnfldtopon 22325 . . . . . . . 8 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
1716toponunii 20486 . . . . . . 7 ℂ = 𝐽
1817restuni 20715 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → 𝑋 = (𝐽t 𝑋))
1915, 3, 18sylancr 693 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → 𝑋 = (𝐽t 𝑋))
207unieqi 4372 . . . . 5 𝐾 = (𝐽t 𝑋)
2119, 20syl6eqr 2658 . . . 4 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → 𝑋 = 𝐾)
22 f1oeq2 6023 . . . 4 (𝑋 = 𝐾 → (𝐹:𝑋1-1-onto (𝐽t 𝑌) ↔ 𝐹: 𝐾1-1-onto (𝐽t 𝑌)))
2321, 22syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → (𝐹:𝑋1-1-onto (𝐽t 𝑌) ↔ 𝐹: 𝐾1-1-onto (𝐽t 𝑌)))
2417restuni 20715 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → 𝑌 = (𝐽t 𝑌))
2515, 5, 24sylancr 693 . . . 4 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → 𝑌 = (𝐽t 𝑌))
26 f1oeq3 6024 . . . 4 (𝑌 = (𝐽t 𝑌) → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋1-1-onto (𝐽t 𝑌)))
2725, 26syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋1-1-onto (𝐽t 𝑌)))
28 simpl 471 . . . 4 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → 𝐾 ∈ Comp)
296cnfldhaus 22327 . . . . 5 𝐽 ∈ Haus
30 cnex 9870 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
3130ssex 4722 . . . . . 6 (𝑌 ⊆ ℂ → 𝑌 ∈ V)
325, 31syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → 𝑌 ∈ V)
33 resthaus 20921 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝐽t 𝑌) ∈ Haus)
3429, 32, 33sylancr 693 . . . 4 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → (𝐽t 𝑌) ∈ Haus)
35 eqid 2606 . . . . 5 𝐾 = 𝐾
36 eqid 2606 . . . . 5 (𝐽t 𝑌) = (𝐽t 𝑌)
3735, 36cmphaushmeo 21352 . . . 4 ((𝐾 ∈ Comp ∧ (𝐽t 𝑌) ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽t 𝑌))) → (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽t 𝑌)) ↔ 𝐹: 𝐾1-1-onto (𝐽t 𝑌)))
3828, 34, 11, 37syl3anc 1317 . . 3 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽t 𝑌)) ↔ 𝐹: 𝐾1-1-onto (𝐽t 𝑌)))
3923, 27, 383bitr4d 298 . 2 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹 ∈ (𝐾Homeo(𝐽t 𝑌))))
406, 8, 7cncfcn 22448 . . . 4 ((𝑌 ⊆ ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → (𝑌cn𝑋) = ((𝐽t 𝑌) Cn 𝐾))
415, 3, 40syl2anc 690 . . 3 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → (𝑌cn𝑋) = ((𝐽t 𝑌) Cn 𝐾))
4241eleq2d 2669 . 2 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝑌cn𝑋) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽t 𝑌) Cn 𝐾)))
4314, 39, 423bitr4d 298 1 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝑋cn𝑌)) → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹 ∈ (𝑌cn𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3169  wss 3536   cuni 4363  ccnv 5024  1-1-ontowf1o 5786  cfv 5787  (class class class)co 6524  cc 9787  t crest 15847  TopOpenctopn 15848  fldccnfld 19510  Topctop 20456   Cn ccn 20777  Hauscha 20861  Compccmp 20938  Homeochmeo 21305  cnccncf 22415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-pre-sup 9867
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-iin 4449  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-oadd 7425  df-er 7603  df-map 7720  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-fi 8174  df-sup 8205  df-inf 8206  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-4 10925  df-5 10926  df-6 10927  df-7 10928  df-8 10929  df-9 10930  df-n0 11137  df-z 11208  df-dec 11323  df-uz 11517  df-q 11618  df-rp 11662  df-xneg 11775  df-xadd 11776  df-xmul 11777  df-icc 12006  df-fz 12150  df-seq 12616  df-exp 12675  df-cj 13630  df-re 13631  df-im 13632  df-sqrt 13766  df-abs 13767  df-struct 15640  df-ndx 15641  df-slot 15642  df-base 15643  df-plusg 15724  df-mulr 15725  df-starv 15726  df-tset 15730  df-ple 15731  df-ds 15734  df-unif 15735  df-rest 15849  df-topn 15850  df-topgen 15870  df-psmet 19502  df-xmet 19503  df-met 19504  df-bl 19505  df-mopn 19506  df-cnfld 19511  df-top 20460  df-bases 20461  df-topon 20462  df-topsp 20463  df-cld 20572  df-cls 20574  df-cn 20780  df-cnp 20781  df-haus 20868  df-cmp 20939  df-hmeo 21307  df-xms 21873  df-ms 21874  df-cncf 22417
This theorem is referenced by:  dvcnvrelem2  23499
  Copyright terms: Public domain W3C validator