Theorem cncff 22743

Description: A continuous complex function's domain and codomain. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cncff	⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Proof of Theorem cncff

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfrss 22741	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)
2		cncfrss2 22742	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐵 ⊆ ℂ)
3		elcncf 22739	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦))))
4	1, 2, 3	syl2anc 694	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦))))
5	4	ibi 256	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦)))
6	5	simpld 474	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  ∃wrex 2942   ⊆ wss 3607   class class class wbr 4685  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972   < clt 10112   − cmin 10304  ℝ⁺crp 11870  abscabs 14018  –cn→ccncf 22726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-map 7901  df-cncf 22728

This theorem is referenced by:  cncfss  22749  climcncf  22750  cncfco  22757  cncfmpt1f  22763  cncfmpt2ss  22765  negfcncf  22769  divcncf  23262  ivth2  23270  ivthicc  23273  evthicc2  23275  cniccbdd  23276  volivth  23421  cncombf  23470  cnmbf  23471  cniccibl  23652  cnmptlimc  23699  cpnord  23743  cpnres  23745  dvrec  23763  rollelem  23797  rolle  23798  cmvth  23799  mvth  23800  dvlip  23801  c1liplem1  23804  c1lip1  23805  c1lip2  23806  dveq0  23808  dvgt0lem1  23810  dvgt0lem2  23811  dvgt0  23812  dvlt0  23813  dvge0  23814  dvle  23815  dvivthlem1  23816  dvivth  23818  dvne0  23819  dvne0f1  23820  dvcnvrelem1  23825  dvcnvrelem2  23826  dvcnvre  23827  dvcvx  23828  dvfsumle  23829  dvfsumge  23830  dvfsumabs  23831  ftc1cn  23851  ftc2  23852  ftc2ditglem  23853  ftc2ditg  23854  itgparts  23855  itgsubstlem  23856  itgsubst  23857  ulmcn  24198  psercn  24225  pserdvlem2  24227  pserdv  24228  sincn  24243  coscn  24244  logtayl  24451  dvcncxp1  24529  leibpi  24714  lgamgulmlem2  24801  ftc2re  30804  fdvposlt  30805  fdvneggt  30806  fdvposle  30807  fdvnegge  30808  ivthALT  32455  knoppcld  32620  knoppndv  32650  cnicciblnc  33611  ftc1cnnclem  33613  ftc1cnnc  33614  ftc2nc  33624  cnioobibld  38116  evthiccabs  40036  cncfmptss  40137  mulc1cncfg  40139  expcnfg  40141  mulcncff  40399  cncfshift  40405  subcncff  40411  cncfcompt  40414  addcncff  40415  cncficcgt0  40419  divcncff  40422  cncfiooicclem1  40424  cncfiooiccre  40426  cncfioobd  40428  cncfcompt2  40430  dvsubcncf  40457  dvmulcncf  40458  dvdivcncf  40460  ioodvbdlimc1lem1  40464  cnbdibl  40496  itgsubsticclem  40509  itgsubsticc  40510  itgioocnicc  40511  iblcncfioo  40512  itgiccshift  40514  itgsbtaddcnst  40516  fourierdlem18  40660  fourierdlem32  40674  fourierdlem33  40675  fourierdlem39  40681  fourierdlem48  40689  fourierdlem49  40690  fourierdlem58  40699  fourierdlem59  40700  fourierdlem71  40712  fourierdlem73  40714  fourierdlem81  40722  fourierdlem84  40725  fourierdlem85  40726  fourierdlem88  40729  fourierdlem94  40735  fourierdlem97  40738  fourierdlem101  40742  fourierdlem103  40744  fourierdlem104  40745  fourierdlem111  40752  fourierdlem112  40753  fourierdlem113  40754  fouriercn  40767