MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncff 23428
Description: A continuous complex function's domain and codomain. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cncff (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐹:𝐴𝐵)

Proof of Theorem cncff
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfrss 23426 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)
2 cncfrss2 23427 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐵 ⊆ ℂ)
3 elcncf 23424 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦))))
41, 2, 3syl2anc 584 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦))))
54ibi 268 . 2 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦)))
65simpld 495 1 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐹:𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  wss 3933   class class class wbr 5057  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523   < clt 10663  cmin 10858  +crp 12377  abscabs 14581  cnccncf 23411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-map 8397  df-cncf 23413
This theorem is referenced by:  cncfss  23434  climcncf  23435  cncfco  23442  cncfmpt1f  23448  cncfmpt2ss  23450  negfcncf  23454  divcncf  23975  ivth2  23983  ivthicc  23986  evthicc2  23988  cniccbdd  23989  volivth  24135  cncombf  24186  cnmbf  24187  cniccibl  24368  cnmptlimc  24415  cpnord  24459  cpnres  24461  dvrec  24479  rollelem  24513  rolle  24514  cmvth  24515  mvth  24516  dvlip  24517  c1liplem1  24520  c1lip1  24521  c1lip2  24522  dveq0  24524  dvgt0lem1  24526  dvgt0lem2  24527  dvgt0  24528  dvlt0  24529  dvge0  24530  dvle  24531  dvivthlem1  24532  dvivth  24534  dvne0  24535  dvne0f1  24536  dvcnvrelem1  24541  dvcnvrelem2  24542  dvcnvre  24543  dvcvx  24544  dvfsumle  24545  dvfsumge  24546  dvfsumabs  24547  ftc1cn  24567  ftc2  24568  ftc2ditglem  24569  ftc2ditg  24570  itgparts  24571  itgsubstlem  24572  itgsubst  24573  ulmcn  24914  psercn  24941  pserdvlem2  24943  pserdv  24944  sincn  24959  coscn  24960  logtayl  25170  dvcncxp1  25251  leibpi  25447  lgamgulmlem2  25534  ftc2re  31768  fdvposlt  31769  fdvneggt  31770  fdvposle  31771  fdvnegge  31772  ivthALT  33580  knoppcld  33741  knoppndv  33770  cnicciblnc  34844  ftc1cnnclem  34846  ftc1cnnc  34847  ftc2nc  34857  cnioobibld  39698  evthiccabs  41647  cncfmptss  41744  mulc1cncfg  41746  expcnfg  41748  mulcncff  42027  cncfshift  42033  subcncff  42039  cncfcompt  42042  addcncff  42043  cncficcgt0  42047  divcncff  42050  cncfiooicclem1  42052  cncfiooiccre  42054  cncfioobd  42056  cncfcompt2  42058  dvsubcncf  42085  dvmulcncf  42086  dvdivcncf  42088  ioodvbdlimc1lem1  42092  cnbdibl  42123  itgsubsticclem  42136  itgsubsticc  42137  itgioocnicc  42138  iblcncfioo  42139  itgiccshift  42141  itgsbtaddcnst  42143  fourierdlem18  42287  fourierdlem32  42301  fourierdlem33  42302  fourierdlem39  42308  fourierdlem48  42316  fourierdlem49  42317  fourierdlem58  42326  fourierdlem59  42327  fourierdlem71  42339  fourierdlem73  42341  fourierdlem81  42349  fourierdlem84  42352  fourierdlem85  42353  fourierdlem88  42356  fourierdlem94  42362  fourierdlem97  42365  fourierdlem101  42369  fourierdlem103  42371  fourierdlem104  42372  fourierdlem111  42379  fourierdlem112  42380  fourierdlem113  42381  fouriercn  42394
  Copyright terms: Public domain W3C validator