MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncffvrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncffvrn 23433
Description: Change the codomain of a continuous complex function. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
cncffvrn ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐶) ↔ 𝐹:𝐴𝐶))

Proof of Theorem cncffvrn
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfi 23429 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ∧ 𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦))
213expb 1112 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦))
32ralrimivva 3188 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦))
43adantl 482 . 2 ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦))
5 cncfrss 23426 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)
6 simpl 483 . . 3 ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → 𝐶 ⊆ ℂ)
7 elcncf2 23425 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐶) ↔ (𝐹:𝐴𝐶 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦))))
85, 6, 7syl2an2 682 . 2 ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐶) ↔ (𝐹:𝐴𝐶 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦))))
94, 8mpbiran2d 704 1 ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐶) ↔ 𝐹:𝐴𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  wss 3933   class class class wbr 5057  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523   < clt 10663  cmin 10858  +crp 12377  abscabs 14581  cnccncf 23411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-2 11688  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-abs 14583  df-cncf 23413
This theorem is referenced by:  cncfss  23434  cncfmpt2ss  23450  rolle  24514  dvlipcn  24518  c1lip2  24522  dvivthlem1  24532  dvivth  24534  lhop1lem  24537  dvcnvrelem2  24542  dvfsumlem2  24551  itgsubstlem  24572  efcvx  24964  dvrelog  25147  relogcn  25148  logcn  25157  dvlog  25161  logccv  25173  resqrtcn  25257  loglesqrt  25266  lgamgulmlem2  25534  rpsqrtcn  31763  fdvneggt  31770  fdvnegge  31772  logdivsqrle  31820  knoppcn2  33772  areacirclem4  34866  cncfres  34924  cncfmptssg  42029  resincncf  42034  cncfcompt  42042  cncfiooiccre  42054  dvdivcncf  42088  dvbdfbdioolem1  42089  ioodvbdlimc1lem2  42093  ioodvbdlimc2lem  42095  itgsbtaddcnst  42143  fourierdlem58  42326  fourierdlem59  42327  fourierdlem62  42330  fourierdlem68  42336  fourierdlem76  42344  fourierdlem78  42346  fourierdlem83  42351  fourierdlem101  42369  fourierdlem112  42380  fouriercn  42394
  Copyright terms: Public domain W3C validator