MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncffvrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncffvrn 22902
Description: Change the codomain of a continuous complex function. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
cncffvrn ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐶) ↔ 𝐹:𝐴𝐶))

Proof of Theorem cncffvrn
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfrss 22895 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)
21adantl 473 . . 3 ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
3 simpl 474 . . 3 ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → 𝐶 ⊆ ℂ)
4 elcncf2 22894 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐶) ↔ (𝐹:𝐴𝐶 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦))))
52, 3, 4syl2anc 696 . 2 ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐶) ↔ (𝐹:𝐴𝐶 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦))))
6 cncfi 22898 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ∧ 𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦))
763expb 1114 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦))
87ralrimivva 3109 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦))
98adantl 473 . . 3 ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦))
109biantrud 529 . 2 ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → (𝐹:𝐴𝐶 ↔ (𝐹:𝐴𝐶 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦))))
115, 10bitr4d 271 1 ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐶) ↔ 𝐹:𝐴𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  wcel 2139  wral 3050  wrex 3051  wss 3715   class class class wbr 4804  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126   < clt 10266  cmin 10458  +crp 12025  abscabs 14173  cnccncf 22880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-2 11271  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-abs 14175  df-cncf 22882
This theorem is referenced by:  cncfss  22903  cncfmpt2ss  22919  rolle  23952  dvlipcn  23956  c1lip2  23960  dvivthlem1  23970  dvivth  23972  lhop1lem  23975  dvcnvrelem2  23980  dvfsumlem2  23989  itgsubstlem  24010  efcvx  24402  dvrelog  24582  relogcn  24583  logcn  24592  dvlog  24596  logccv  24608  resqrtcn  24689  loglesqrt  24698  lgamgulmlem2  24955  rpsqrtcn  30980  fdvneggt  30987  fdvnegge  30989  logdivsqrle  31037  knoppcn2  32833  areacirclem4  33816  cncfres  33877  cncfmptssg  40586  resincncf  40591  cncfcompt  40599  cncfiooiccre  40611  dvdivcncf  40645  dvbdfbdioolem1  40646  ioodvbdlimc1lem2  40650  ioodvbdlimc2lem  40652  itgsbtaddcnst  40701  fourierdlem58  40884  fourierdlem59  40885  fourierdlem62  40888  fourierdlem68  40894  fourierdlem76  40902  fourierdlem78  40904  fourierdlem83  40909  fourierdlem101  40927  fourierdlem112  40938  fouriercn  40952
  Copyright terms: Public domain W3C validator