Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfi 22744
 Description: Defining property of a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cncfi ((𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ∧ 𝐶𝐴𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑤,𝐴   𝑤,𝐶,𝑧   𝑤,𝐹,𝑧   𝑤,𝑅,𝑧   𝑤,𝐵,𝑧

Proof of Theorem cncfi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfrss 22741 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)
2 cncfrss2 22742 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐵 ⊆ ℂ)
3 elcncf2 22740 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦))))
41, 2, 3syl2anc 694 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦))))
54ibi 256 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦)))
65simprd 478 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦))
7 oveq2 6698 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐶 → (𝑤𝑥) = (𝑤𝐶))
87fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐶 → (abs‘(𝑤𝑥)) = (abs‘(𝑤𝐶)))
98breq1d 4695 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐶 → ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑤𝐶)) < 𝑧))
10 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐶 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐶))
1110oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐶 → ((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥)) = ((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶)))
1211fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐶 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) = (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))))
1312breq1d 4695 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐶 → ((abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑦))
149, 13imbi12d 333 . . . . 5 (𝑥 = 𝐶 → (((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦) ↔ ((abs‘(𝑤𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑦)))
1514rexralbidv 3087 . . . 4 (𝑥 = 𝐶 → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑦)))
16 breq2 4689 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑅 → ((abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑅))
1716imbi2d 329 . . . . 5 (𝑦 = 𝑅 → (((abs‘(𝑤𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑦) ↔ ((abs‘(𝑤𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑅)))
1817rexralbidv 3087 . . . 4 (𝑦 = 𝑅 → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑅)))
1915, 18rspc2v 3353 . . 3 ((𝐶𝐴𝑅 ∈ ℝ+) → (∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑅)))
206, 19mpan9 485 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ∧ (𝐶𝐴𝑅 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑅))
21203impb 1279 1 ((𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ∧ 𝐶𝐴𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝐶))) < 𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  ∃wrex 2942   ⊆ wss 3607   class class class wbr 4685  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972   < clt 10112   − cmin 10304  ℝ+crp 11870  abscabs 14018  –cn→ccncf 22726 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-2 11117  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-abs 14020  df-cncf 22728 This theorem is referenced by:  cncffvrn  22748  climcncf  22750  cncfco  22757  ivthlem2  23267  ivthlem3  23268  ulmcn  24198  pntlem3  25343  sinccvglem  31692  itg2gt0cn  33595
 Copyright terms: Public domain W3C validator