Theorem cncfiooicc 42167

Description: A continuous function 𝐹 on an open interval (𝐴(,)𝐵) can be extended to a continuous function 𝐺 on the corresponding closed interval, if it has a finite right limit 𝑅 in 𝐴 and a finite left limit 𝐿 in 𝐵. 𝐹 can be complex-valued. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfiooicc.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
cncfiooicc.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
cncfiooicc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cncfiooicc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
cncfiooicc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
cncfiooicc.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
cncfiooicc.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐹 limℂ 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
cncfiooicc	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐿   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem cncfiooicc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1909	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵)
2		cncfiooicc.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
3		cncfiooicc.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		cncfiooicc.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6	5	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		simpr 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
8		cncfiooicc.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
9	8	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
10		cncfiooicc.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
11	10	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐿 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
12		cncfiooicc.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐹 limℂ 𝐴))
13	12	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝑅 ∈ (𝐹 limℂ 𝐴))
14	1, 2, 4, 6, 7, 9, 11, 13	cncfiooicclem1 42166	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
15		limccl 24465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 limℂ 𝐴) ⊆ ℂ
16	15, 12	sseldi 3963	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
17	16	snssd 4734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑅} ⊆ ℂ)
18		ssid 3987	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
20		cncfss 23499	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑅} ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ({𝐴}–cn→{𝑅}) ⊆ ({𝐴}–cn→ℂ))
21	17, 19, 20	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({𝐴}–cn→{𝑅}) ⊆ ({𝐴}–cn→ℂ))
22	21	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ({𝐴}–cn→{𝑅}) ⊆ ({𝐴}–cn→ℂ))
23	3	rexrd 10683	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
24		iccid 12775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
26		oveq2 7156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴[,]𝐴) = (𝐴[,]𝐵))
27	25, 26	sylan9req 2875	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → {𝐴} = (𝐴[,]𝐵))
28	27	eqcomd 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴[,]𝐵) = {𝐴})
29		simpr 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
30	28	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) = {𝐴})
31	29, 30	eleqtrd 2913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ {𝐴})
32		elsni 4576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 = 𝐴)
34	33	iftrued 4473	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = 𝑅)
35	28, 34	mpteq12dva 5141	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝑅))
36	2, 35	syl5eq 2866	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝑅))
37	3	recnd 10661	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
38	37	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
39	16	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝑅 ∈ ℂ)
40		cncfdmsn 42163	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝑅) ∈ ({𝐴}–cn→{𝑅}))
41	38, 39, 40	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝑅) ∈ ({𝐴}–cn→{𝑅}))
42	36, 41	eqeltrd 2911	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ ({𝐴}–cn→{𝑅}))
43	22, 42	sseldd 3966	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ ({𝐴}–cn→ℂ))
44	27	oveq1d 7163	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ({𝐴}–cn→ℂ) = ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
45	43, 44	eleqtrd 2913	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
46	45	adantlr 713	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
47		simpll 765	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝜑)
48		eqcom 2826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝐵)
49	48	biimpi 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → 𝐴 = 𝐵)
50	49	con3i 157	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐵 = 𝐴)
51	50	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐵 = 𝐴)
52		simplr 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
53		pm4.56 985	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐵 = 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵))
54	53	biimpi 218	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐵 = 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → ¬ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵))
55	51, 52, 54	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵))
56	47, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
57	47, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
58	56, 57	lttrid 10770	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵)))
59	55, 58	mpbird 259	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 < 𝐴)
60		0ss 4348	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ⊆ ℂ
61		eqid 2819	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
62	61	cnfldtop 23384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
63		rest0 21769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ∅) = {∅})
64	62, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ∅) = {∅}
65	64	eqcomi 2828	. . . . . . . . 9 ⊢ {∅} = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ∅)
66	61, 65, 65	cncfcn 23509	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ⊆ ℂ ∧ ∅ ⊆ ℂ) → (∅–cn→∅) = ({∅} Cn {∅}))
67	60, 60, 66	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ (∅–cn→∅) = ({∅} Cn {∅})
68		cncfss 23499	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (∅–cn→∅) ⊆ (∅–cn→ℂ))
69	60, 18, 68	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ (∅–cn→∅) ⊆ (∅–cn→ℂ)
70	67, 69	eqsstrri 4000	. . . . . 6 ⊢ ({∅} Cn {∅}) ⊆ (∅–cn→ℂ)
71	2	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))))
72		simpr 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
73	23	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
74	5	rexrd 10683	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
75	74	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
76		icc0 12778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
77	73, 75, 76	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
78	72, 77	mpbird 259	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴[,]𝐵) = ∅)
79	78	mpteq1d 5146	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))))
80		mpt0 6483	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))) = ∅
81	80	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝑥 ∈ ∅ ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))) = ∅)
82	71, 79, 81	3eqtrd 2858	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐺 = ∅)
83		0cnf 42150	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})
84	82, 83	syl6eqel 2919	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐺 ∈ ({∅} Cn {∅}))
85	70, 84	sseldi 3963	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐺 ∈ (∅–cn→ℂ))
86	78	eqcomd 2825	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → ∅ = (𝐴[,]𝐵))
87	86	oveq1d 7163	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (∅–cn→ℂ) = ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
88	85, 87	eleqtrd 2913	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
89	47, 59, 88	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
90	46, 89	pm2.61dan 811	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
91	14, 90	pm2.61dan 811	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1531  Ⅎwnf 1778   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3934  ∅c0 4289  ifcif 4465  {csn 4559   class class class wbr 5057   ↦ cmpt 5137  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  ℂcc 10527  ℝcr 10528  ℝ^*cxr 10666   < clt 10667  (,)cioo 12730  [,]cicc 12733   ↾_t crest 16686  TopOpenctopn 16687  ℂ_fldccnfld 20537  Topctop 21493   Cn ccn 21824  –cn→ccncf 23476   lim_ℂ climc 24452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12885  df-seq 13362  df-exp 13422  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-rest 16688  df-topn 16689  df-topgen 16709  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-met 20531  df-bl 20532  df-mopn 20533  df-cnfld 20538  df-top 21494  df-topon 21511  df-topsp 21533  df-bases 21546  df-cld 21619  df-ntr 21620  df-cls 21621  df-cn 21827  df-cnp 21828  df-xms 22922  df-ms 22923  df-cncf 23478  df-limc 24456

This theorem is referenced by:  cncfiooiccre  42168  cncfioobd  42170  itgioocnicc  42252  iblcncfioo  42253  fourierdlem73  42455  fourierdlem81  42463  fourierdlem82  42464