MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfmptid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfmptid 22454
Description: The identity function is a continuous function on . (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
cncfmptid ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥𝑆𝑥) ∈ (𝑆cn𝑇))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇

Proof of Theorem cncfmptid
StepHypRef Expression
1 cncfss 22441 . 2 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑆cn𝑆) ⊆ (𝑆cn𝑇))
2 eqid 2609 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
32cnfldtopon 22328 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
4 sstr 3575 . . . . 5 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ)
5 resttopon 20717 . . . . 5 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
63, 4, 5sylancr 693 . . . 4 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
76cnmptid 21216 . . 3 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥𝑆𝑥) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)))
8 eqid 2609 . . . . 5 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
92, 8, 8cncfcn 22451 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝑆cn𝑆) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)))
104, 4, 9syl2anc 690 . . 3 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑆cn𝑆) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)))
117, 10eleqtrrd 2690 . 2 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥𝑆𝑥) ∈ (𝑆cn𝑆))
121, 11sseldd 3568 1 ((𝑆𝑇𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥𝑆𝑥) ∈ (𝑆cn𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wss 3539  cmpt 4637  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790  t crest 15850  TopOpenctopn 15851  fldccnfld 19513  TopOnctopon 20460   Cn ccn 20780  cnccncf 22418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-fz 12153  df-seq 12619  df-exp 12678  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-rest 15852  df-topn 15853  df-topgen 15873  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-cnfld 19514  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-xms 21876  df-ms 21877  df-cncf 22420
This theorem is referenced by:  addccncf  22458  negcncf  22460  dvcnp2  23406  mvth  23476  dvlipcn  23478  dvfsumle  23505  dvfsumabs  23507  dvfsumlem2  23511  taylthlem2  23849  loglesqrt  24216  lgamgulmlem2  24473  pntlem3  25015  areacirclem4  32476  idcncf  32532  areaquad  36624  idcncfg  38561  addccncf2  38565  add1cncf  38592  add2cncf  38593  sub1cncfd  38594  sub2cncfd  38595  itgsbtaddcnst  38678  dirkercncflem2  38801  fourierdlem16  38820  fourierdlem22  38826  fourierdlem93  38896  fourierdlem111  38914
  Copyright terms: Public domain W3C validator