Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cncfmptssg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfmptssg 39386
Description: A continuous complex function restricted to a subset is continuous, using "map to" notation. This theorem generalizes cncfmptss 39223 because it allows to establish a subset for the codomain also. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfmptssg.2 𝐹 = (𝑥𝐴𝐸)
cncfmptssg.3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵))
cncfmptssg.4 (𝜑𝐶𝐴)
cncfmptssg.5 (𝜑𝐷𝐵)
cncfmptssg.6 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐸𝐷)
Assertion
Ref Expression
cncfmptssg (𝜑 → (𝑥𝐶𝐸) ∈ (𝐶cn𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem cncfmptssg
StepHypRef Expression
1 cncfmptssg.6 . . 3 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐸𝐷)
2 eqid 2621 . . 3 (𝑥𝐶𝐸) = (𝑥𝐶𝐸)
31, 2fmptd 6340 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐶𝐸):𝐶𝐷)
4 cncfmptssg.5 . . . 4 (𝜑𝐷𝐵)
5 cncfmptssg.3 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵))
6 cncfrss2 22603 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐵 ⊆ ℂ)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ ℂ)
84, 7sstrd 3593 . . 3 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
9 cncfmptssg.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝐴)
109sselda 3583 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥𝐴)
11 cncfmptssg.2 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥𝐴𝐸)
1211fvmpt2 6248 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝐸𝐷) → (𝐹𝑥) = 𝐸)
1310, 1, 12syl2anc 692 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝐹𝑥) = 𝐸)
1413mpteq2dva 4704 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥𝐶𝐸))
15 nfmpt1 4707 . . . . . 6 𝑥(𝑥𝐴𝐸)
1611, 15nfcxfr 2759 . . . . 5 𝑥𝐹
1716, 5, 9cncfmptss 39223 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ (𝐶cn𝐵))
1814, 17eqeltrrd 2699 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐶𝐸) ∈ (𝐶cn𝐵))
19 cncffvrn 22609 . . 3 ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ (𝑥𝐶𝐸) ∈ (𝐶cn𝐵)) → ((𝑥𝐶𝐸) ∈ (𝐶cn𝐷) ↔ (𝑥𝐶𝐸):𝐶𝐷))
208, 18, 19syl2anc 692 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐶𝐸) ∈ (𝐶cn𝐷) ↔ (𝑥𝐶𝐸):𝐶𝐷))
213, 20mpbird 247 1 (𝜑 → (𝑥𝐶𝐸) ∈ (𝐶cn𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3555  cmpt 4673  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cnccncf 22587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-2 11023  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-abs 13910  df-cncf 22589
This theorem is referenced by:  negcncfg  39397  itgsinexplem1  39476  itgiccshift  39503  itgperiod  39504  itgsbtaddcnst  39505  dirkeritg  39626  dirkercncflem2  39628  dirkercncflem4  39630  fourierdlem18  39649  fourierdlem23  39654  fourierdlem39  39670  fourierdlem40  39671  fourierdlem62  39692  fourierdlem73  39703  fourierdlem78  39708  fourierdlem83  39713  fourierdlem84  39714  fourierdlem93  39723  fourierdlem95  39725  fourierdlem101  39731  fourierdlem111  39741  etransclem46  39804
  Copyright terms: Public domain W3C validator