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Theorem cncfshift 39390
Description: A periodic continuous function stays continuous if the domain is shifted a period. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfshift.a (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
cncfshift.t (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
cncfshift.b 𝐵 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
cncfshift.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ))
cncfshift.g 𝐺 = (𝑥𝐵 ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇)))
Assertion
Ref Expression
cncfshift (𝜑𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cncfshift
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑣 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfshift.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ))
2 cncff 22604 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
43adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
5 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
6 cncfshift.b . . . . . . . 8 𝐵 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
75, 6syl6eleq 2708 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)})
8 rabid 3106 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
97, 8sylib 208 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
109simprd 479 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → ∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇))
11 oveq1 6611 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 + 𝑇) → (𝑥𝑇) = ((𝑦 + 𝑇) − 𝑇))
12113ad2ant3 1082 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐴𝑥 = (𝑦 + 𝑇)) → (𝑥𝑇) = ((𝑦 + 𝑇) − 𝑇))
13 cncfshift.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
1413sselda 3583 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℂ)
15 cncfshift.t . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
1615adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑇 ∈ ℂ)
1714, 16pncand 10337 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝑦 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑦)
1817adantlr 750 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑦 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑦)
19183adant3 1079 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐴𝑥 = (𝑦 + 𝑇)) → ((𝑦 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑦)
2012, 19eqtrd 2655 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐴𝑥 = (𝑦 + 𝑇)) → (𝑥𝑇) = 𝑦)
21 simp2 1060 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐴𝑥 = (𝑦 + 𝑇)) → 𝑦𝐴)
2220, 21eqeltrd 2698 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐴𝑥 = (𝑦 + 𝑇)) → (𝑥𝑇) ∈ 𝐴)
2322rexlimdv3a 3026 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇) → (𝑥𝑇) ∈ 𝐴))
2410, 23mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥𝑇) ∈ 𝐴)
254, 24ffvelrnd 6316 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝐹‘(𝑥𝑇)) ∈ ℂ)
26 cncfshift.g . . 3 𝐺 = (𝑥𝐵 ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇)))
2725, 26fmptd 6340 . 2 (𝜑𝐺:𝐵⟶ℂ)
281adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ))
2913adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)
30 ssid 3603 . . . . . . . . . 10 ℂ ⊆ ℂ
31 elcncf 22600 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑎𝐴𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑎) − (𝐹𝑏))) < 𝑤))))
3229, 30, 31sylancl 693 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑎𝐴𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑎) − (𝐹𝑏))) < 𝑤))))
3328, 32mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑎𝐴𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑎) − (𝐹𝑏))) < 𝑤)))
3433simprd 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → ∀𝑎𝐴𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑎) − (𝐹𝑏))) < 𝑤))
35 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = (𝑥𝑇) → (𝑎𝑏) = ((𝑥𝑇) − 𝑏))
3635fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = (𝑥𝑇) → (abs‘(𝑎𝑏)) = (abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)))
3736breq1d 4623 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑥𝑇) → ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑧 ↔ (abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧))
38 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = (𝑥𝑇) → (𝐹𝑎) = (𝐹‘(𝑥𝑇)))
3938oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = (𝑥𝑇) → ((𝐹𝑎) − (𝐹𝑏)) = ((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏)))
4039fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = (𝑥𝑇) → (abs‘((𝐹𝑎) − (𝐹𝑏))) = (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))))
4140breq1d 4623 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑥𝑇) → ((abs‘((𝐹𝑎) − (𝐹𝑏))) < 𝑤 ↔ (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤))
4237, 41imbi12d 334 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑥𝑇) → (((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑎) − (𝐹𝑏))) < 𝑤) ↔ ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤)))
4342rexralbidv 3051 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑥𝑇) → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑎) − (𝐹𝑏))) < 𝑤) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤)))
4443ralbidv 2980 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑥𝑇) → (∀𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑎) − (𝐹𝑏))) < 𝑤) ↔ ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤)))
4544rspcva 3293 . . . . . . 7 (((𝑥𝑇) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑎𝐴𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑎) − (𝐹𝑏))) < 𝑤)) → ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤))
4624, 34, 45syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤))
4746adantrr 752 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) → ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤))
48 simprr 795 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) → 𝑤 ∈ ℝ+)
49 rspa 2925 . . . . 5 ((∀𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤))
5047, 48, 49syl2anc 692 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤))
51 simpl1l 1110 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣𝐵) → 𝜑)
5251adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣𝐵) ∧ (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧) → 𝜑)
53 simp1rl 1124 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤)) → 𝑥𝐵)
5453ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣𝐵) ∧ (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧) → 𝑥𝐵)
55 simplr 791 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣𝐵) ∧ (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧) → 𝑣𝐵)
5626fvmpt2 6248 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝐵 ∧ (𝐹‘(𝑥𝑇)) ∈ ℂ) → (𝐺𝑥) = (𝐹‘(𝑥𝑇)))
575, 25, 56syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝐺𝑥) = (𝐹‘(𝑥𝑇)))
58573adant3 1079 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐵𝑣𝐵) → (𝐺𝑥) = (𝐹‘(𝑥𝑇)))
5926a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑣𝐵) → 𝐺 = (𝑥𝐵 ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇))))
60 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑣 → (𝑥𝑇) = (𝑣𝑇))
6160fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑣 → (𝐹‘(𝑥𝑇)) = (𝐹‘(𝑣𝑇)))
6261adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑣𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑣) → (𝐹‘(𝑥𝑇)) = (𝐹‘(𝑣𝑇)))
63 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑣𝐵) → 𝑣𝐵)
643adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑣𝐵) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
65 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑣 → (𝑥𝐵𝑣𝐵))
6665anbi2d 739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑣 → ((𝜑𝑥𝐵) ↔ (𝜑𝑣𝐵)))
6760eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑣 → ((𝑥𝑇) ∈ 𝐴 ↔ (𝑣𝑇) ∈ 𝐴))
6866, 67imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑣 → (((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥𝑇) ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑𝑣𝐵) → (𝑣𝑇) ∈ 𝐴)))
6968, 24chvarv 2262 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑣𝐵) → (𝑣𝑇) ∈ 𝐴)
7064, 69ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑣𝐵) → (𝐹‘(𝑣𝑇)) ∈ ℂ)
7159, 62, 63, 70fvmptd 6245 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑣𝐵) → (𝐺𝑣) = (𝐹‘(𝑣𝑇)))
72713adant2 1078 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐵𝑣𝐵) → (𝐺𝑣) = (𝐹‘(𝑣𝑇)))
7358, 72oveq12d 6622 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐵𝑣𝐵) → ((𝐺𝑥) − (𝐺𝑣)) = ((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹‘(𝑣𝑇))))
7473fveq2d 6152 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵𝑣𝐵) → (abs‘((𝐺𝑥) − (𝐺𝑣))) = (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹‘(𝑣𝑇)))))
7552, 54, 55, 74syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣𝐵) ∧ (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧) → (abs‘((𝐺𝑥) − (𝐺𝑣))) = (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹‘(𝑣𝑇)))))
7652, 54, 55jca31 556 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣𝐵) ∧ (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧) → ((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑣𝐵))
77 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣𝐵) ∧ (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧) → (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧)
789simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
7978adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑣𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
80 ssrab2 3666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} ⊆ ℂ
816, 80eqsstri 3614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐵 ⊆ ℂ
8281sseli 3579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣𝐵𝑣 ∈ ℂ)
8382adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑣𝐵) → 𝑣 ∈ ℂ)
8415ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑣𝐵) → 𝑇 ∈ ℂ)
8579, 83, 84nnncan2d 10371 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑣𝐵) → ((𝑥𝑇) − (𝑣𝑇)) = (𝑥𝑣))
8685fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑣𝐵) → (abs‘((𝑥𝑇) − (𝑣𝑇))) = (abs‘(𝑥𝑣)))
8786adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧) → (abs‘((𝑥𝑇) − (𝑣𝑇))) = (abs‘(𝑥𝑣)))
88 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧) → (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧)
8987, 88eqbrtrd 4635 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧) → (abs‘((𝑥𝑇) − (𝑣𝑇))) < 𝑧)
9076, 77, 89syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣𝐵) ∧ (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧) → (abs‘((𝑥𝑇) − (𝑣𝑇))) < 𝑧)
9152, 55, 69syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣𝐵) ∧ (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧) → (𝑣𝑇) ∈ 𝐴)
92 simpll3 1100 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣𝐵) ∧ (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧) → ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤))
93 oveq2 6612 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = (𝑣𝑇) → ((𝑥𝑇) − 𝑏) = ((𝑥𝑇) − (𝑣𝑇)))
9493fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = (𝑣𝑇) → (abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) = (abs‘((𝑥𝑇) − (𝑣𝑇))))
9594breq1d 4623 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = (𝑣𝑇) → ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 ↔ (abs‘((𝑥𝑇) − (𝑣𝑇))) < 𝑧))
96 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = (𝑣𝑇) → (𝐹𝑏) = (𝐹‘(𝑣𝑇)))
9796oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = (𝑣𝑇) → ((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏)) = ((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹‘(𝑣𝑇))))
9897fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = (𝑣𝑇) → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) = (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹‘(𝑣𝑇)))))
9998breq1d 4623 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = (𝑣𝑇) → ((abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤 ↔ (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹‘(𝑣𝑇)))) < 𝑤))
10095, 99imbi12d 334 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = (𝑣𝑇) → (((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤) ↔ ((abs‘((𝑥𝑇) − (𝑣𝑇))) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹‘(𝑣𝑇)))) < 𝑤)))
101100rspcva 3293 . . . . . . . . . . 11 (((𝑣𝑇) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤)) → ((abs‘((𝑥𝑇) − (𝑣𝑇))) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹‘(𝑣𝑇)))) < 𝑤))
10291, 92, 101syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣𝐵) ∧ (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧) → ((abs‘((𝑥𝑇) − (𝑣𝑇))) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹‘(𝑣𝑇)))) < 𝑤))
10390, 102mpd 15 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣𝐵) ∧ (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹‘(𝑣𝑇)))) < 𝑤)
10475, 103eqbrtrd 4635 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣𝐵) ∧ (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧) → (abs‘((𝐺𝑥) − (𝐺𝑣))) < 𝑤)
105104ex 450 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣𝐵) → ((abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑥) − (𝐺𝑣))) < 𝑤))
106105ralrimiva 2960 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤)) → ∀𝑣𝐵 ((abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑥) − (𝐺𝑣))) < 𝑤))
1071063exp 1261 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) → (𝑧 ∈ ℝ+ → (∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤) → ∀𝑣𝐵 ((abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑥) − (𝐺𝑣))) < 𝑤))))
108107reximdvai 3009 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘(𝑥𝑇)) − (𝐹𝑏))) < 𝑤) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑥) − (𝐺𝑣))) < 𝑤)))
10950, 108mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑥) − (𝐺𝑣))) < 𝑤))
110109ralrimivva 2965 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑥) − (𝐺𝑣))) < 𝑤))
11181a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ ℂ)
112 elcncf 22600 . . . 4 ((𝐵 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ) ↔ (𝐺:𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑎𝐵𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑎𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑎) − (𝐺𝑣))) < 𝑤))))
113111, 30, 112sylancl 693 . . 3 (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ) ↔ (𝐺:𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑎𝐵𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑎𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑎) − (𝐺𝑣))) < 𝑤))))
114 nfcv 2761 . . . . . . 7 𝑥+
115 nfcv 2761 . . . . . . . . 9 𝑥𝐵
116 nfv 1840 . . . . . . . . . 10 𝑥(abs‘(𝑎𝑣)) < 𝑧
117 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . 12 𝑥abs
118 nfmpt1 4707 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥(𝑥𝐵 ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇)))
11926, 118nfcxfr 2759 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝐺
120 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑎
121119, 120nffv 6155 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝐺𝑎)
122 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥
123 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑣
124119, 123nffv 6155 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝐺𝑣)
125121, 122, 124nfov 6630 . . . . . . . . . . . 12 𝑥((𝐺𝑎) − (𝐺𝑣))
126117, 125nffv 6155 . . . . . . . . . . 11 𝑥(abs‘((𝐺𝑎) − (𝐺𝑣)))
127 nfcv 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑥 <
128 nfcv 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑤
129126, 127, 128nfbr 4659 . . . . . . . . . 10 𝑥(abs‘((𝐺𝑎) − (𝐺𝑣))) < 𝑤
130116, 129nfim 1822 . . . . . . . . 9 𝑥((abs‘(𝑎𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑎) − (𝐺𝑣))) < 𝑤)
131115, 130nfral 2940 . . . . . . . 8 𝑥𝑣𝐵 ((abs‘(𝑎𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑎) − (𝐺𝑣))) < 𝑤)
132114, 131nfrex 3001 . . . . . . 7 𝑥𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑎𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑎) − (𝐺𝑣))) < 𝑤)
133114, 132nfral 2940 . . . . . 6 𝑥𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑎𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑎) − (𝐺𝑣))) < 𝑤)
134 nfv 1840 . . . . . 6 𝑎𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑥) − (𝐺𝑣))) < 𝑤)
135 oveq1 6611 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑥 → (𝑎𝑣) = (𝑥𝑣))
136135fveq2d 6152 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑥 → (abs‘(𝑎𝑣)) = (abs‘(𝑥𝑣)))
137136breq1d 4623 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑥 → ((abs‘(𝑎𝑣)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧))
138 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑥 → (𝐺𝑎) = (𝐺𝑥))
139138oveq1d 6619 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑥 → ((𝐺𝑎) − (𝐺𝑣)) = ((𝐺𝑥) − (𝐺𝑣)))
140139fveq2d 6152 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑥 → (abs‘((𝐺𝑎) − (𝐺𝑣))) = (abs‘((𝐺𝑥) − (𝐺𝑣))))
141140breq1d 4623 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑥 → ((abs‘((𝐺𝑎) − (𝐺𝑣))) < 𝑤 ↔ (abs‘((𝐺𝑥) − (𝐺𝑣))) < 𝑤))
142137, 141imbi12d 334 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑥 → (((abs‘(𝑎𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑎) − (𝐺𝑣))) < 𝑤) ↔ ((abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑥) − (𝐺𝑣))) < 𝑤)))
143142rexralbidv 3051 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑎𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑎) − (𝐺𝑣))) < 𝑤) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑥) − (𝐺𝑣))) < 𝑤)))
144143ralbidv 2980 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑥 → (∀𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑎𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑎) − (𝐺𝑣))) < 𝑤) ↔ ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑥) − (𝐺𝑣))) < 𝑤)))
145133, 134, 144cbvral 3155 . . . . 5 (∀𝑎𝐵𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑎𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑎) − (𝐺𝑣))) < 𝑤) ↔ ∀𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑥) − (𝐺𝑣))) < 𝑤))
146145bicomi 214 . . . 4 (∀𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑥) − (𝐺𝑣))) < 𝑤) ↔ ∀𝑎𝐵𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑎𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑎) − (𝐺𝑣))) < 𝑤))
147146anbi2i 729 . . 3 ((𝐺:𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑥) − (𝐺𝑣))) < 𝑤)) ↔ (𝐺:𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑎𝐵𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑎𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑎) − (𝐺𝑣))) < 𝑤)))
148113, 147syl6bbr 278 . 2 (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ) ↔ (𝐺:𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧 → (abs‘((𝐺𝑥) − (𝐺𝑣))) < 𝑤))))
14927, 110, 148mpbir2and 956 1 (𝜑𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  {crab 2911  wss 3555   class class class wbr 4613  cmpt 4673  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878   + caddc 9883   < clt 10018  cmin 10210  +crp 11776  abscabs 13908  cnccncf 22587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-ltxr 10023  df-sub 10212  df-cncf 22589
This theorem is referenced by:  cncfshiftioo  39409  itgiccshift  39503  fourierdlem92  39722
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