Theorem cncmet 23927

Description: The set of complex numbers is a complete metric space under the absolute value metric. (Contributed by NM, 20-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cncmet.1	⊢ 𝐷 = (abs ∘ − )

Assertion

Ref	Expression
cncmet	⊢ 𝐷 ∈ (CMet‘ℂ)

Proof of Theorem cncmet

Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	cnfldtopn 23392	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
3		cncmet.1	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (abs ∘ − )
4	3	fveq2i 6675	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
5	2, 4	eqtr4i 2849	. . 3 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘𝐷)
6		cnmet 23382	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
7	3, 6	eqeltri 2911	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ (Met‘ℂ)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐷 ∈ (Met‘ℂ))
9		1rp 12396	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ+)
11	1	cnfldtop 23394	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
12		metxmet 22946	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘ℂ) → 𝐷 ∈ (∞Met‘ℂ))
13	7, 12	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘ℂ)
14		1xr 10702	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ*
15		blssm 23030	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ ℂ)
16	13, 14, 15	mp3an13 1448	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ ℂ)
17		unicntop 23396	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
18	17	clscld 21657	. . . . . 6 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ ℂ) → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
19	11, 16, 18	sylancr 589	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
20		abscl 14640	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
21		peano2re 10815	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘𝑥) ∈ ℝ → ((abs‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
22	20, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((abs‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
23		df-rab 3149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)}
24	23	eqcomi 2832	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)} = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1}
25	5, 24	blcls 23118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)})
26	13, 14, 25	mp3an13 1448	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)})
27		abscl 14640	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (abs‘𝑦) ∈ ℝ)
28	27	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (abs‘𝑦) ∈ ℝ)
29	20	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
30	28, 29	resubcld 11070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → ((abs‘𝑦) − (abs‘𝑥)) ∈ ℝ)
31		simpl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1) → 𝑦 ∈ ℂ)
32		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
33		subcl 10887	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℂ)
34	31, 32, 33	syl2anr 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℂ)
35	34	abscld 14798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (abs‘(𝑦 − 𝑥)) ∈ ℝ)
36		1red 10644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → 1 ∈ ℝ)
37		simprl 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
38		simpl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
39	37, 38	abs2difd 14819	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → ((abs‘𝑦) − (abs‘𝑥)) ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑥)))
40	3	cnmetdval 23381	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝐷𝑦) = (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
41		abssub 14688	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) = (abs‘(𝑦 − 𝑥)))
42	40, 41	eqtrd 2858	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝐷𝑦) = (abs‘(𝑦 − 𝑥)))
43	42	adantrr 715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (𝑥𝐷𝑦) = (abs‘(𝑦 − 𝑥)))
44		simprr 771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)
45	43, 44	eqbrtrrd 5092	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (abs‘(𝑦 − 𝑥)) ≤ 1)
46	30, 35, 36, 39, 45	letrd 10799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → ((abs‘𝑦) − (abs‘𝑥)) ≤ 1)
47	28, 29, 36	lesubadd2d 11241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (((abs‘𝑦) − (abs‘𝑥)) ≤ 1 ↔ (abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1)))
48	46, 47	mpbid 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)) → (abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1))
49	48	ex 415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1) → (abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1)))
50	49	ss2abdv 4046	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐷𝑦) ≤ 1)} ⊆ {𝑦 ∣ (abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1)})
51	26, 50	sstrd 3979	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ {𝑦 ∣ (abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1)})
52		ssabral 4044	. . . . . . 7 ⊢ (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ {𝑦 ∣ (abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1)} ↔ ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1))
53	51, 52	sylib 220	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1))
54		brralrspcev 5128	. . . . . 6 ⊢ ((((abs‘𝑥) + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ ((abs‘𝑥) + 1)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ 𝑟)
55	22, 53, 54	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ 𝑟)
56	17	clsss3 21669	. . . . . . 7 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ ℂ) → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ ℂ)
57	11, 16, 56	sylancr 589	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ ℂ)
58		eqid 2823	. . . . . . 7 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)))
59	1, 58	cnheibor 23561	. . . . . 6 ⊢ (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ ℂ → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) ∈ Comp ↔ (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ 𝑟)))
60	57, 59	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) ∈ Comp ↔ (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))(abs‘𝑦) ≤ 𝑟)))
61	19, 55, 60	mpbir2and 711	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) ∈ Comp)
62	61	adantl 484	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) ∈ Comp)
63	5, 8, 10, 62	relcmpcmet 23923	. 2 ⊢ (⊤ → 𝐷 ∈ (CMet‘ℂ))
64	63	mptru 1544	1 ⊢ 𝐷 ∈ (CMet‘ℂ)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2114  {cab 2801  ∀wral 3140  ∃wrex 3141  {crab 3144   ⊆ wss 3938   class class class wbr 5068   ∘ ccom 5561  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  ℝcr 10538  1c1 10540   + caddc 10542  ℝ^*cxr 10676   ≤ cle 10678   − cmin 10872  ℝ⁺crp 12392  abscabs 14595   ↾_t crest 16696  TopOpenctopn 16697  ∞Metcxmet 20532  Metcmet 20533  ballcbl 20534  MetOpencmopn 20537  ℂ_fldccnfld 20547  Topctop 21503  Clsdccld 21626  clsccl 21628  Compccmp 21996  CMetccmet 23859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617  ax-addf 10618  ax-mulf 10619

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-ixp 8464  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ioo 12745  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-hom 16591  df-cco 16592  df-rest 16698  df-topn 16699  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-topgen 16719  df-pt 16720  df-prds 16723  df-xrs 16777  df-qtop 16782  df-imas 16783  df-xps 16785  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-mulg 18227  df-cntz 18449  df-cmn 18910  df-psmet 20539  df-xmet 20540  df-met 20541  df-bl 20542  df-mopn 20543  df-fbas 20544  df-fg 20545  df-cnfld 20548  df-top 21504  df-topon 21521  df-topsp 21543  df-bases 21556  df-cld 21629  df-ntr 21630  df-cls 21631  df-nei 21708  df-cn 21837  df-cnp 21838  df-haus 21925  df-cmp 21997  df-tx 22172  df-hmeo 22365  df-fil 22456  df-flim 22549  df-fcls 22551  df-xms 22932  df-ms 22933  df-tms 22934  df-cncf 23488  df-cfil 23860  df-cmet 23862

This theorem is referenced by:  recmet  23928  cncms  23960  cnbn  28648