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Theorem cnconn 21144
Description: Connectedness is respected by a continuous onto map. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnconn.2 𝑌 = 𝐾
Assertion
Ref Expression
cnconn ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐾 ∈ Conn)

Proof of Theorem cnconn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntop2 20964 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
213ad2ant3 1082 . 2 ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐾 ∈ Top)
3 df-ne 2791 . . . . . . 7 (𝑥 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝑥 = ∅)
4 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = 𝐽
5 simpl1 1062 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝐽 ∈ Conn)
6 simpl3 1064 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
7 inss1 3816 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ⊆ 𝐾
8 simprl 793 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)))
97, 8sseldi 3585 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥𝐾)
10 cnima 20988 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑥𝐾) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)
116, 9, 10syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)
12 elssuni 4438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝐾𝑥 𝐾)
139, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 𝐾)
14 cnconn.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑌 = 𝐾
1513, 14syl6sseqr 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥𝑌)
16 simpl2 1063 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝐹:𝑋onto𝑌)
17 forn 6080 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹:𝑋onto𝑌 → ran 𝐹 = 𝑌)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → ran 𝐹 = 𝑌)
1915, 18sseqtr4d 3626 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ⊆ ran 𝐹)
20 df-rn 5090 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ran 𝐹 = dom 𝐹
2119, 20syl6sseq 3635 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ⊆ dom 𝐹)
22 sseqin2 3800 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ⊆ dom 𝐹 ↔ (dom 𝐹𝑥) = 𝑥)
2321, 22sylib 208 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (dom 𝐹𝑥) = 𝑥)
24 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ≠ ∅)
2523, 24eqnetrd 2857 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (dom 𝐹𝑥) ≠ ∅)
26 imadisj 5448 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑥) = ∅ ↔ (dom 𝐹𝑥) = ∅)
2726necon3bii 2842 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑥) ≠ ∅ ↔ (dom 𝐹𝑥) ≠ ∅)
2825, 27sylibr 224 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (𝐹𝑥) ≠ ∅)
29 inss2 3817 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ⊆ (Clsd‘𝐾)
3029, 8sseldi 3585 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐾))
31 cnclima 20991 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐾)) → (𝐹𝑥) ∈ (Clsd‘𝐽))
326, 30, 31syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (𝐹𝑥) ∈ (Clsd‘𝐽))
334, 5, 11, 28, 32connclo 21137 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (𝐹𝑥) = 𝐽)
344, 14cnf 20969 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹: 𝐽𝑌)
35 fdm 6013 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹: 𝐽𝑌 → dom 𝐹 = 𝐽)
366, 34, 353syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → dom 𝐹 = 𝐽)
37 fof 6077 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑋onto𝑌𝐹:𝑋𝑌)
38 fdm 6013 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑋𝑌 → dom 𝐹 = 𝑋)
3916, 37, 383syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → dom 𝐹 = 𝑋)
4033, 36, 393eqtr2d 2661 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (𝐹𝑥) = 𝑋)
4140imaeq2d 5430 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (𝐹 “ (𝐹𝑥)) = (𝐹𝑋))
42 foimacnv 6116 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝑋onto𝑌𝑥𝑌) → (𝐹 “ (𝐹𝑥)) = 𝑥)
4316, 15, 42syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (𝐹 “ (𝐹𝑥)) = 𝑥)
44 foima 6082 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑋onto𝑌 → (𝐹𝑋) = 𝑌)
4516, 44syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (𝐹𝑋) = 𝑌)
4641, 43, 453eqtr3d 2663 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 = 𝑌)
4746expr 642 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾))) → (𝑥 ≠ ∅ → 𝑥 = 𝑌))
483, 47syl5bir 233 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾))) → (¬ 𝑥 = ∅ → 𝑥 = 𝑌))
4948orrd 393 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾))) → (𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = 𝑌))
50 vex 3192 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
5150elpr 4174 . . . . 5 (𝑥 ∈ {∅, 𝑌} ↔ (𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = 𝑌))
5249, 51sylibr 224 . . . 4 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾))) → 𝑥 ∈ {∅, 𝑌})
5352ex 450 . . 3 ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) → 𝑥 ∈ {∅, 𝑌}))
5453ssrdv 3593 . 2 ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ⊆ {∅, 𝑌})
5514isconn2 21136 . 2 (𝐾 ∈ Conn ↔ (𝐾 ∈ Top ∧ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ⊆ {∅, 𝑌}))
562, 54, 55sylanbrc 697 1 ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐾 ∈ Conn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cin 3558  wss 3559  c0 3896  {cpr 4155   cuni 4407  ccnv 5078  dom cdm 5079  ran crn 5080  cima 5082  wf 5848  ontowfo 5850  cfv 5852  (class class class)co 6610  Topctop 20626  Clsdccld 20739   Cn ccn 20947  Conncconn 21133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-fo 5858  df-fv 5860  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-map 7811  df-top 20627  df-topon 20644  df-cld 20742  df-cn 20950  df-conn 21134
This theorem is referenced by:  connima  21147  conncn  21148  qtopconn  21431  connhmph  21511  ivthALT  31999
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