MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncvs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncvs 22848
Description: The set of complex numbers (as a subring of itself) is a complex vector space. The vector operation is +, and the scalar product is ·. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.) (Revised by AV, 21-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
cnrlmod.c 𝐶 = (ringLMod‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
cncvs 𝐶 ∈ ℂVec

Proof of Theorem cncvs
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnrlmod.c . . . . 5 𝐶 = (ringLMod‘ℂfld)
21cnrlmod 22846 . . . 4 𝐶 ∈ LMod
3 cnfldex 19663 . . . . . 6 fld ∈ V
4 cnfldbas 19664 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
54ressid 15851 . . . . . 6 (ℂfld ∈ V → (ℂflds ℂ) = ℂfld)
63, 5ax-mp 5 . . . . 5 (ℂflds ℂ) = ℂfld
76eqcomi 2635 . . . 4 fld = (ℂflds ℂ)
8 id 22 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
9 addcl 9963 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
10 negcl 10226 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
11 ax-1cn 9939 . . . . 5 1 ∈ ℂ
12 mulcl 9965 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
138, 9, 10, 11, 12cnsubrglem 19710 . . . 4 ℂ ∈ (SubRing‘ℂfld)
14 rlmsca 19114 . . . . . . 7 (ℂfld ∈ V → ℂfld = (Scalar‘(ringLMod‘ℂfld)))
153, 14ax-mp 5 . . . . . 6 fld = (Scalar‘(ringLMod‘ℂfld))
161eqcomi 2635 . . . . . . 7 (ringLMod‘ℂfld) = 𝐶
1716fveq2i 6153 . . . . . 6 (Scalar‘(ringLMod‘ℂfld)) = (Scalar‘𝐶)
1815, 17eqtri 2648 . . . . 5 fld = (Scalar‘𝐶)
1918isclmi 22780 . . . 4 ((𝐶 ∈ LMod ∧ ℂfld = (ℂflds ℂ) ∧ ℂ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → 𝐶 ∈ ℂMod)
202, 7, 13, 19mp3an 1421 . . 3 𝐶 ∈ ℂMod
211cnrlvec 22847 . . 3 𝐶 ∈ LVec
22 elin 3779 . . 3 (𝐶 ∈ (ℂMod ∩ LVec) ↔ (𝐶 ∈ ℂMod ∧ 𝐶 ∈ LVec))
2320, 21, 22mpbir2an 954 . 2 𝐶 ∈ (ℂMod ∩ LVec)
24 df-cvs 22827 . 2 ℂVec = (ℂMod ∩ LVec)
2523, 24eleqtrri 2703 1 𝐶 ∈ ℂVec
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480  wcel 1992  Vcvv 3191  cin 3559  cfv 5850  (class class class)co 6605  cc 9879  s cress 15777  Scalarcsca 15860  SubRingcsubrg 18692  LModclmod 18779  LVecclvec 19016  ringLModcrglmod 19083  fldccnfld 19660  ℂModcclm 22765  ℂVecccvs 22826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-addf 9960  ax-mulf 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-tpos 7298  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12266  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-starv 15872  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-ip 15875  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-unif 15881  df-0g 16018  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-grp 17341  df-minusg 17342  df-subg 17507  df-cmn 18111  df-mgp 18406  df-ur 18418  df-ring 18465  df-cring 18466  df-oppr 18539  df-dvdsr 18557  df-unit 18558  df-invr 18588  df-dvr 18599  df-drng 18665  df-subrg 18694  df-lmod 18781  df-lvec 19017  df-sra 19086  df-rgmod 19087  df-cnfld 19661  df-clm 22766  df-cvs 22827
This theorem is referenced by:  cnncvs  22862  cnncvsmulassdemo  22867
  Copyright terms: Public domain W3C validator