Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncvs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncvs 23116
 Description: The complex left module of complex numbers is a subcomplex vector space. The vector operation is +, and the scalar product is ·. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.) (Revised by AV, 21-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
cnrlmod.c 𝐶 = (ringLMod‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
cncvs 𝐶 ∈ ℂVec

Proof of Theorem cncvs
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnrlmod.c . . . . 5 𝐶 = (ringLMod‘ℂfld)
21cnrlmod 23114 . . . 4 𝐶 ∈ LMod
3 cnfldex 19922 . . . . . 6 fld ∈ V
4 cnfldbas 19923 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
54ressid 16108 . . . . . 6 (ℂfld ∈ V → (ℂflds ℂ) = ℂfld)
63, 5ax-mp 5 . . . . 5 (ℂflds ℂ) = ℂfld
76eqcomi 2757 . . . 4 fld = (ℂflds ℂ)
8 id 22 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
9 addcl 10181 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
10 negcl 10444 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
11 ax-1cn 10157 . . . . 5 1 ∈ ℂ
12 mulcl 10183 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
138, 9, 10, 11, 12cnsubrglem 19969 . . . 4 ℂ ∈ (SubRing‘ℂfld)
14 rlmsca 19373 . . . . . . 7 (ℂfld ∈ V → ℂfld = (Scalar‘(ringLMod‘ℂfld)))
153, 14ax-mp 5 . . . . . 6 fld = (Scalar‘(ringLMod‘ℂfld))
161eqcomi 2757 . . . . . . 7 (ringLMod‘ℂfld) = 𝐶
1716fveq2i 6343 . . . . . 6 (Scalar‘(ringLMod‘ℂfld)) = (Scalar‘𝐶)
1815, 17eqtri 2770 . . . . 5 fld = (Scalar‘𝐶)
1918isclmi 23048 . . . 4 ((𝐶 ∈ LMod ∧ ℂfld = (ℂflds ℂ) ∧ ℂ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → 𝐶 ∈ ℂMod)
202, 7, 13, 19mp3an 1561 . . 3 𝐶 ∈ ℂMod
211cnrlvec 23115 . . 3 𝐶 ∈ LVec
22 elin 3927 . . 3 (𝐶 ∈ (ℂMod ∩ LVec) ↔ (𝐶 ∈ ℂMod ∧ 𝐶 ∈ LVec))
2320, 21, 22mpbir2an 993 . 2 𝐶 ∈ (ℂMod ∩ LVec)
24 df-cvs 23095 . 2 ℂVec = (ℂMod ∩ LVec)
2523, 24eleqtrri 2826 1 𝐶 ∈ ℂVec
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1620   ∈ wcel 2127  Vcvv 3328   ∩ cin 3702  ‘cfv 6037  (class class class)co 6801  ℂcc 10097   ↾s cress 16031  Scalarcsca 16117  SubRingcsubrg 18949  LModclmod 19036  LVecclvec 19275  ringLModcrglmod 19342  ℂfldccnfld 19919  ℂModcclm 23033  ℂVecccvs 23094 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-addf 10178  ax-mulf 10179 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-tpos 7509  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-7 11247  df-8 11248  df-9 11249  df-n0 11456  df-z 11541  df-dec 11657  df-uz 11851  df-fz 12491  df-struct 16032  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-ress 16038  df-plusg 16127  df-mulr 16128  df-starv 16129  df-sca 16130  df-vsca 16131  df-ip 16132  df-tset 16133  df-ple 16134  df-ds 16137  df-unif 16138  df-0g 16275  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-grp 17597  df-minusg 17598  df-subg 17763  df-cmn 18366  df-mgp 18661  df-ur 18673  df-ring 18720  df-cring 18721  df-oppr 18794  df-dvdsr 18812  df-unit 18813  df-invr 18843  df-dvr 18854  df-drng 18922  df-subrg 18951  df-lmod 19038  df-lvec 19276  df-sra 19345  df-rgmod 19346  df-cnfld 19920  df-clm 23034  df-cvs 23095 This theorem is referenced by:  cnncvs  23130  cnncvsmulassdemo  23135
 Copyright terms: Public domain W3C validator