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Theorem cnegex 9967
Description: Existence of the negative of a complex number. (Contributed by Eric Schmidt, 21-May-2007.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
cnegex (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 + 𝑥) = 0)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem cnegex
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 9790 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)))
2 ax-rnegex 9761 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ ℝ → ∃𝑐 ∈ ℝ (𝑎 + 𝑐) = 0)
3 ax-rnegex 9761 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ ℝ → ∃𝑑 ∈ ℝ (𝑏 + 𝑑) = 0)
42, 3anim12i 587 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ (𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ (𝑏 + 𝑑) = 0))
5 reeanv 2990 . . . . . 6 (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑑 ∈ ℝ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ (𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ (𝑏 + 𝑑) = 0))
64, 5sylibr 222 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑑 ∈ ℝ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0))
7 ax-icn 9749 . . . . . . . . . . 11 i ∈ ℂ
87a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → i ∈ ℂ)
9 simplrr 796 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → 𝑑 ∈ ℝ)
109recnd 9822 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → 𝑑 ∈ ℂ)
118, 10mulcld 9814 . . . . . . . . 9 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (i · 𝑑) ∈ ℂ)
12 simplrl 795 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → 𝑐 ∈ ℝ)
1312recnd 9822 . . . . . . . . 9 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → 𝑐 ∈ ℂ)
1411, 13addcld 9813 . . . . . . . 8 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → ((i · 𝑑) + 𝑐) ∈ ℂ)
15 simplll 793 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → 𝑎 ∈ ℝ)
1615recnd 9822 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → 𝑎 ∈ ℂ)
17 simpllr 794 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → 𝑏 ∈ ℝ)
1817recnd 9822 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → 𝑏 ∈ ℂ)
198, 18mulcld 9814 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (i · 𝑏) ∈ ℂ)
2016, 19, 11addassd 9816 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + (i · 𝑑)) = (𝑎 + ((i · 𝑏) + (i · 𝑑))))
218, 18, 10adddid 9818 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (i · (𝑏 + 𝑑)) = ((i · 𝑏) + (i · 𝑑)))
22 simprr 791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (𝑏 + 𝑑) = 0)
2322oveq2d 6441 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (i · (𝑏 + 𝑑)) = (i · 0))
24 mul01 9965 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (i ∈ ℂ → (i · 0) = 0)
257, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (i · 0) = 0
2623, 25syl6eq 2564 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (i · (𝑏 + 𝑑)) = 0)
2721, 26eqtr3d 2550 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → ((i · 𝑏) + (i · 𝑑)) = 0)
2827oveq2d 6441 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (𝑎 + ((i · 𝑏) + (i · 𝑑))) = (𝑎 + 0))
29 addid1 9966 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ ℂ → (𝑎 + 0) = 𝑎)
3016, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (𝑎 + 0) = 𝑎)
3120, 28, 303eqtrd 2552 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + (i · 𝑑)) = 𝑎)
3231oveq1d 6440 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) + (i · 𝑑)) + 𝑐) = (𝑎 + 𝑐))
3316, 19addcld 9813 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
3433, 11, 13addassd 9816 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) + (i · 𝑑)) + 𝑐) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑑) + 𝑐)))
3532, 34eqtr3d 2550 . . . . . . . . 9 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (𝑎 + 𝑐) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑑) + 𝑐)))
36 simprl 789 . . . . . . . . 9 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → (𝑎 + 𝑐) = 0)
3735, 36eqtr3d 2550 . . . . . . . 8 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑑) + 𝑐)) = 0)
38 oveq2 6433 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ((i · 𝑑) + 𝑐) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑑) + 𝑐)))
3938eqeq1d 2516 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ((i · 𝑑) + 𝑐) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0 ↔ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑑) + 𝑐)) = 0))
4039rspcev 3186 . . . . . . . 8 ((((i · 𝑑) + 𝑐) ∈ ℂ ∧ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑑) + 𝑐)) = 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0)
4114, 37, 40syl2anc 690 . . . . . . 7 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0)) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0)
4241ex 448 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) → (((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0))
4342rexlimdvva 2924 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑑 ∈ ℝ ((𝑎 + 𝑐) = 0 ∧ (𝑏 + 𝑑) = 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0))
446, 43mpd 15 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0)
45 oveq1 6432 . . . . . 6 (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (𝐴 + 𝑥) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥))
4645eqeq1d 2516 . . . . 5 (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ((𝐴 + 𝑥) = 0 ↔ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0))
4746rexbidv 2938 . . . 4 (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 + 𝑥) = 0 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0))
4844, 47syl5ibrcom 235 . . 3 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 + 𝑥) = 0))
4948rexlimivv 2922 . 2 (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 + 𝑥) = 0)
501, 49syl 17 1 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 + 𝑥) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1938  wrex 2801  (class class class)co 6425  cc 9688  cr 9689  0cc0 9690  ici 9692   + caddc 9693   · cmul 9695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6722  ax-resscn 9747  ax-1cn 9748  ax-icn 9749  ax-addcl 9750  ax-addrcl 9751  ax-mulcl 9752  ax-mulrcl 9753  ax-mulcom 9754  ax-addass 9755  ax-mulass 9756  ax-distr 9757  ax-i2m1 9758  ax-1ne0 9759  ax-1rid 9760  ax-rnegex 9761  ax-rrecex 9762  ax-cnre 9763  ax-pre-lttri 9764  ax-pre-lttrn 9765  ax-pre-ltadd 9766
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-op 4035  df-uni 4271  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-ov 6428  df-er 7504  df-en 7717  df-dom 7718  df-sdom 7719  df-pnf 9830  df-mnf 9831  df-ltxr 9833
This theorem is referenced by:  addid2  9969  addcan2  9971  0cnALT  10020  negeu  10021
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