MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnegex2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnegex2 10165
Description: Existence of a left inverse for addition. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
cnegex2 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑥 + 𝐴) = 0)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem cnegex2
StepHypRef Expression
1 ax-icn 9942 . . . 4 i ∈ ℂ
21, 1mulcli 9992 . . 3 (i · i) ∈ ℂ
3 mulcl 9967 . . 3 (((i · i) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · i) · 𝐴) ∈ ℂ)
42, 3mpan 705 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · 𝐴) ∈ ℂ)
5 mulid2 9985 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
65oveq2d 6623 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (((i · i) · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = (((i · i) · 𝐴) + 𝐴))
7 ax-i2m1 9951 . . . . 5 ((i · i) + 1) = 0
87oveq1i 6617 . . . 4 (((i · i) + 1) · 𝐴) = (0 · 𝐴)
9 ax-1cn 9941 . . . . 5 1 ∈ ℂ
10 adddir 9978 . . . . 5 (((i · i) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((i · i) + 1) · 𝐴) = (((i · i) · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
112, 9, 10mp3an12 1411 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (((i · i) + 1) · 𝐴) = (((i · i) · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
12 mul02 10161 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
138, 11, 123eqtr3a 2679 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (((i · i) · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = 0)
146, 13eqtr3d 2657 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (((i · i) · 𝐴) + 𝐴) = 0)
15 oveq1 6614 . . . 4 (𝑥 = ((i · i) · 𝐴) → (𝑥 + 𝐴) = (((i · i) · 𝐴) + 𝐴))
1615eqeq1d 2623 . . 3 (𝑥 = ((i · i) · 𝐴) → ((𝑥 + 𝐴) = 0 ↔ (((i · i) · 𝐴) + 𝐴) = 0))
1716rspcev 3295 . 2 ((((i · i) · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (((i · i) · 𝐴) + 𝐴) = 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑥 + 𝐴) = 0)
184, 14, 17syl2anc 692 1 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑥 + 𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908  (class class class)co 6607  cc 9881  0cc0 9883  1c1 9884  ici 9885   + caddc 9886   · cmul 9888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-op 4157  df-uni 4405  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-ov 6610  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-ltxr 10026
This theorem is referenced by:  addcan  10167
  Copyright terms: Public domain W3C validator