MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnextfres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnextfres 21813
Description: 𝐹 and its extension by continuity agree on the domain of 𝐹. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cnextfres.c 𝐶 = 𝐽
cnextfres.b 𝐵 = 𝐾
cnextfres.j (𝜑𝐽 ∈ Top)
cnextfres.k (𝜑𝐾 ∈ Haus)
cnextfres.a (𝜑𝐴𝐶)
cnextfres.1 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾))
cnextfres.x (𝜑𝑋𝐴)
Assertion
Ref Expression
cnextfres (𝜑 → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑋) = (𝐹𝑋))

Proof of Theorem cnextfres
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnextfres.j . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Top)
2 cnextfres.k . . 3 (𝜑𝐾 ∈ Haus)
3 cnextfres.1 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾))
4 eqid 2621 . . . . . 6 (𝐽t 𝐴) = (𝐽t 𝐴)
5 cnextfres.b . . . . . 6 𝐵 = 𝐾
64, 5cnf 20990 . . . . 5 (𝐹 ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾) → 𝐹: (𝐽t 𝐴)⟶𝐵)
73, 6syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹: (𝐽t 𝐴)⟶𝐵)
8 cnextfres.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐶)
9 cnextfres.c . . . . . . 7 𝐶 = 𝐽
109restuni 20906 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐶) → 𝐴 = (𝐽t 𝐴))
111, 8, 10syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑𝐴 = (𝐽t 𝐴))
1211feq2d 5998 . . . 4 (𝜑 → (𝐹:𝐴𝐵𝐹: (𝐽t 𝐴)⟶𝐵))
137, 12mpbird 247 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
149, 5cnextfun 21808 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴𝐵𝐴𝐶)) → Fun ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
151, 2, 13, 8, 14syl22anc 1324 . 2 (𝜑 → Fun ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
169sscls 20800 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐶) → 𝐴 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝐴))
171, 8, 16syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝐴))
18 cnextfres.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐴)
1917, 18sseldd 3589 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴))
209, 5, 1, 8, 3, 18flfcntr 21787 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑋) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
2119, 20jca 554 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ (𝐹𝑋) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
22 sneq 4165 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
2322fveq2d 6162 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) = ((nei‘𝐽)‘{𝑋}))
2423oveq1d 6630 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) = (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))
2524oveq2d 6631 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)) = (𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴)))
2625fveq1d 6160 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
2726opeliunxp2 5230 . . . . 5 (⟨𝑋, (𝐹𝑋)⟩ ∈ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ↔ (𝑋 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ (𝐹𝑋) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
2821, 27sylibr 224 . . . 4 (𝜑 → ⟨𝑋, (𝐹𝑋)⟩ ∈ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
29 haustop 21075 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ Haus → 𝐾 ∈ Top)
302, 29syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ Top)
319, 5cnextfval 21806 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝐴𝐵𝐴𝐶)) → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) = 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
321, 30, 13, 8, 31syl22anc 1324 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) = 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
3332eleq2d 2684 . . . 4 (𝜑 → (⟨𝑋, (𝐹𝑋)⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↔ ⟨𝑋, (𝐹𝑋)⟩ ∈ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))))
3428, 33mpbird 247 . . 3 (𝜑 → ⟨𝑋, (𝐹𝑋)⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
35 df-br 4624 . . 3 (𝑋((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)(𝐹𝑋) ↔ ⟨𝑋, (𝐹𝑋)⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
3634, 35sylibr 224 . 2 (𝜑𝑋((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)(𝐹𝑋))
37 funbrfv 6201 . . 3 (Fun ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) → (𝑋((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)(𝐹𝑋) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑋) = (𝐹𝑋)))
3837imp 445 . 2 ((Fun ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ∧ 𝑋((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)(𝐹𝑋)) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑋) = (𝐹𝑋))
3915, 36, 38syl2anc 692 1 (𝜑 → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑋) = (𝐹𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3560  {csn 4155  cop 4161   cuni 4409   ciun 4492   class class class wbr 4623   × cxp 5082  Fun wfun 5851  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615  t crest 16021  Topctop 20638  clsccl 20762  neicnei 20841   Cn ccn 20968  Hauscha 21052   fLimf cflf 21679  CnExtccnext 21803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-en 7916  df-fin 7919  df-fi 8277  df-rest 16023  df-topgen 16044  df-fbas 19683  df-fg 19684  df-top 20639  df-topon 20656  df-bases 20690  df-cld 20763  df-ntr 20764  df-cls 20765  df-nei 20842  df-cn 20971  df-cnp 20972  df-haus 21059  df-fil 21590  df-fm 21682  df-flim 21683  df-flf 21684  df-cnext 21804
This theorem is referenced by:  rrhqima  29882
  Copyright terms: Public domain W3C validator