MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnextfres1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnextfres1 21782
Description: 𝐹 and its extension by continuity agree on the domain of 𝐹. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
cnextf.1 𝐶 = 𝐽
cnextf.2 𝐵 = 𝐾
cnextf.3 (𝜑𝐽 ∈ Top)
cnextf.4 (𝜑𝐾 ∈ Haus)
cnextf.5 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
cnextf.a (𝜑𝐴𝐶)
cnextf.6 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = 𝐶)
cnextf.7 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)
cnextcn.8 (𝜑𝐾 ∈ Reg)
cnextfres1.1 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
cnextfres1 (𝜑 → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴) = 𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥

Proof of Theorem cnextfres1
Dummy variables 𝑦 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnextf.1 . . . . 5 𝐶 = 𝐽
2 cnextf.2 . . . . 5 𝐵 = 𝐾
3 cnextf.3 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ Top)
4 cnextf.4 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ Haus)
5 cnextf.5 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
6 cnextf.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝐶)
7 cnextf.6 . . . . 5 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = 𝐶)
8 cnextf.7 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cnextf 21780 . . . 4 (𝜑 → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹):𝐶𝐵)
10 ffn 6002 . . . 4 (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹):𝐶𝐵 → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) Fn 𝐶)
119, 10syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) Fn 𝐶)
12 fnssres 5962 . . 3 ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) Fn 𝐶𝐴𝐶) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴) Fn 𝐴)
1311, 6, 12syl2anc 692 . 2 (𝜑 → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴) Fn 𝐴)
14 ffn 6002 . . 3 (𝐹:𝐴𝐵𝐹 Fn 𝐴)
155, 14syl 17 . 2 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
16 fvres 6164 . . . 4 (𝑦𝐴 → ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴)‘𝑦) = (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑦))
1716adantl 482 . . 3 ((𝜑𝑦𝐴) → ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴)‘𝑦) = (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑦))
186sselda 3583 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦𝐶)
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cnextfvval 21779 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐶) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑦) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
2018, 19syldan 487 . . 3 ((𝜑𝑦𝐴) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑦) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
215ffvelrnda 6315 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐵)
22 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
231restuni 20876 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐶) → 𝐴 = (𝐽t 𝐴))
243, 6, 23syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 = (𝐽t 𝐴))
2524adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐴 = (𝐽t 𝐴))
2622, 25eleqtrd 2700 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 (𝐽t 𝐴))
27 cnextfres1.1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾))
28 fvex 6158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∈ V
297, 28syl6eqelr 2707 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐶 ∈ V)
3029, 6ssexd 4765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ V)
31 resttop 20874 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐽t 𝐴) ∈ Top)
323, 30, 31syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐽t 𝐴) ∈ Top)
33 haustop 21045 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ Haus → 𝐾 ∈ Top)
344, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐾 ∈ Top)
3524feq2d 5988 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹:𝐴𝐵𝐹: (𝐽t 𝐴)⟶𝐵))
365, 35mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹: (𝐽t 𝐴)⟶𝐵)
37 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽t 𝐴) = (𝐽t 𝐴)
3837, 2cnnei 20996 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽t 𝐴) ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹: (𝐽t 𝐴)⟶𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ ∀𝑦 (𝐽t 𝐴)∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤))
3932, 34, 36, 38syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ ∀𝑦 (𝐽t 𝐴)∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤))
4027, 39mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑦 (𝐽t 𝐴)∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤)
4140r19.21bi 2927 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 (𝐽t 𝐴)) → ∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤)
4226, 41syldan 487 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → ∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤)
4342r19.21bi 2927 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})) → ∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤)
443adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐽 ∈ Top)
456adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐴𝐶)
46 snssi 4308 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐴 → {𝑦} ⊆ 𝐴)
4746adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐴) → {𝑦} ⊆ 𝐴)
481neitr 20894 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐶 ∧ {𝑦} ⊆ 𝐴) → ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦}) = (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))
4944, 45, 47, 48syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦}) = (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))
5049rexeqdv 3134 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → (∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤 ↔ ∃𝑣 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤))
5150adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})) → (∃𝑣 ∈ ((nei‘(𝐽t 𝐴))‘{𝑦})(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤 ↔ ∃𝑣 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤))
5243, 51mpbid 222 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})) → ∃𝑣 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤)
5352ralrimiva 2960 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → ∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})∃𝑣 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤)
544adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐾 ∈ Haus)
552toptopon 20648 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵))
5655biimpi 206 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ Top → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵))
5754, 33, 563syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵))
587adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = 𝐶)
5918, 58eleqtrrd 2701 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴))
601toptopon 20648 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶))
613, 60sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶))
6261adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶))
63 trnei 21606 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶) ∧ 𝐴𝐶𝑦𝐶) → (𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴)))
6462, 45, 18, 63syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝑦 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴)))
6559, 64mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴) → (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴))
665adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐹:𝐴𝐵)
67 flfnei 21705 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ↔ ((𝐹𝑦) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})∃𝑣 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤)))
6857, 65, 66, 67syl3anc 1323 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝐹𝑦) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ↔ ((𝐹𝑦) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(𝐹𝑦)})∃𝑣 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑣) ⊆ 𝑤)))
6921, 53, 68mpbir2and 956 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
70 eleq1 2686 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐶𝑦𝐶))
7170anbi2d 739 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑𝑥𝐶) ↔ (𝜑𝑦𝐶)))
72 sneq 4158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → {𝑥} = {𝑦})
7372fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) = ((nei‘𝐽)‘{𝑦}))
7473oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) = (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))
7574oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)) = (𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)))
7675fveq1d 6150 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
7776neeq1d 2849 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅ ↔ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅))
7871, 77imbi12d 334 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅) ↔ ((𝜑𝑦𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)))
7978, 8chvarv 2262 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)
8018, 79syldan 487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)
812hausflf2 21712 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Haus ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1𝑜)
8254, 65, 66, 80, 81syl31anc 1326 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1𝑜)
83 en1eqsn 8134 . . . . . 6 (((𝐹𝑦) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∧ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1𝑜) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = {(𝐹𝑦)})
8469, 82, 83syl2anc 692 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = {(𝐹𝑦)})
8584unieqd 4412 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = {(𝐹𝑦)})
86 fvex 6158 . . . . 5 (𝐹𝑦) ∈ V
8786unisn 4417 . . . 4 {(𝐹𝑦)} = (𝐹𝑦)
8885, 87syl6eq 2671 . . 3 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = (𝐹𝑦))
8917, 20, 883eqtrd 2659 . 2 ((𝜑𝑦𝐴) → ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴)‘𝑦) = (𝐹𝑦))
9013, 15, 89eqfnfvd 6270 1 (𝜑 → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↾ 𝐴) = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  Vcvv 3186  wss 3555  c0 3891  {csn 4148   cuni 4402   class class class wbr 4613  cres 5076  cima 5077   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  1𝑜c1o 7498  cen 7896  t crest 16002  Topctop 20617  TopOnctopon 20618  clsccl 20732  neicnei 20811   Cn ccn 20938  Hauscha 21022  Regcreg 21023  Filcfil 21559   fLimf cflf 21649  CnExtccnext 21773
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fi 8261  df-rest 16004  df-topgen 16025  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-cnext 21774
This theorem is referenced by:  rrhre  29844
  Copyright terms: Public domain W3C validator