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Theorem cnfcom3lem 8585
Description: Lemma for cnfcom3 8586. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 4-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s 𝑆 = dom (ω CNF 𝐴)
cnfcom.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cnfcom.b (𝜑𝐵 ∈ (ω ↑𝑜 𝐴))
cnfcom.f 𝐹 = ((ω CNF 𝐴)‘𝐵)
cnfcom.g 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
cnfcom.h 𝐻 = seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (𝑀 +𝑜 𝑧)), ∅)
cnfcom.t 𝑇 = seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ 𝐾), ∅)
cnfcom.m 𝑀 = ((ω ↑𝑜 (𝐺𝑘)) ·𝑜 (𝐹‘(𝐺𝑘)))
cnfcom.k 𝐾 = ((𝑥𝑀 ↦ (dom 𝑓 +𝑜 𝑥)) ∪ (𝑥 ∈ dom 𝑓 ↦ (𝑀 +𝑜 𝑥)))
cnfcom.w 𝑊 = (𝐺 dom 𝐺)
cnfcom3.1 (𝜑 → ω ⊆ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
cnfcom3lem (𝜑𝑊 ∈ (On ∖ 1𝑜))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑧,𝐴   𝑥,𝑀   𝑓,𝑘,𝑥,𝑧,𝐹   𝑧,𝑇   𝑥,𝑊   𝑓,𝐺,𝑘,𝑥,𝑧   𝑓,𝐻,𝑥   𝑆,𝑘,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑥,𝑧,𝑓,𝑘)   𝑆(𝑥,𝑓)   𝑇(𝑥,𝑓,𝑘)   𝐻(𝑧,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑧,𝑓,𝑘)   𝑀(𝑧,𝑓,𝑘)   𝑊(𝑧,𝑓,𝑘)

Proof of Theorem cnfcom3lem
StepHypRef Expression
1 cnfcom.w . . 3 𝑊 = (𝐺 dom 𝐺)
2 cnfcom.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ On)
3 suppssdm 7293 . . . . . 6 (𝐹 supp ∅) ⊆ dom 𝐹
4 cnfcom.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = ((ω CNF 𝐴)‘𝐵)
5 cnfcom.s . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = dom (ω CNF 𝐴)
6 omelon 8528 . . . . . . . . . . . . . 14 ω ∈ On
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ω ∈ On)
85, 7, 2cantnff1o 8578 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ω CNF 𝐴):𝑆1-1-onto→(ω ↑𝑜 𝐴))
9 f1ocnv 6136 . . . . . . . . . . . 12 ((ω CNF 𝐴):𝑆1-1-onto→(ω ↑𝑜 𝐴) → (ω CNF 𝐴):(ω ↑𝑜 𝐴)–1-1-onto𝑆)
10 f1of 6124 . . . . . . . . . . . 12 ((ω CNF 𝐴):(ω ↑𝑜 𝐴)–1-1-onto𝑆(ω CNF 𝐴):(ω ↑𝑜 𝐴)⟶𝑆)
118, 9, 103syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑(ω CNF 𝐴):(ω ↑𝑜 𝐴)⟶𝑆)
12 cnfcom.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ (ω ↑𝑜 𝐴))
1311, 12ffvelrnd 6346 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ω CNF 𝐴)‘𝐵) ∈ 𝑆)
144, 13syl5eqel 2703 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹𝑆)
155, 7, 2cantnfs 8548 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑆 ↔ (𝐹:𝐴⟶ω ∧ 𝐹 finSupp ∅)))
1614, 15mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶ω ∧ 𝐹 finSupp ∅))
1716simpld 475 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐴⟶ω)
18 fdm 6038 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴⟶ω → dom 𝐹 = 𝐴)
1917, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
203, 19syl5sseq 3645 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐴)
21 ovex 6663 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 supp ∅) ∈ V
22 cnfcom.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
2322oion 8426 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 supp ∅) ∈ V → dom 𝐺 ∈ On)
2421, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 dom 𝐺 ∈ On
2524elexi 3208 . . . . . . . . 9 dom 𝐺 ∈ V
2625uniex 6938 . . . . . . . 8 dom 𝐺 ∈ V
2726sucid 5792 . . . . . . 7 dom 𝐺 ∈ suc dom 𝐺
28 cnfcom.h . . . . . . . 8 𝐻 = seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (𝑀 +𝑜 𝑧)), ∅)
29 cnfcom.t . . . . . . . 8 𝑇 = seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ 𝐾), ∅)
30 cnfcom.m . . . . . . . 8 𝑀 = ((ω ↑𝑜 (𝐺𝑘)) ·𝑜 (𝐹‘(𝐺𝑘)))
31 cnfcom.k . . . . . . . 8 𝐾 = ((𝑥𝑀 ↦ (dom 𝑓 +𝑜 𝑥)) ∪ (𝑥 ∈ dom 𝑓 ↦ (𝑀 +𝑜 𝑥)))
32 cnfcom3.1 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ω ⊆ 𝐵)
33 peano1 7070 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ ω
3433a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∅ ∈ ω)
3532, 34sseldd 3596 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∅ ∈ 𝐵)
365, 2, 12, 4, 22, 28, 29, 30, 31, 1, 35cnfcom2lem 8583 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝐺 = suc dom 𝐺)
3727, 36syl5eleqr 2706 . . . . . 6 (𝜑 dom 𝐺 ∈ dom 𝐺)
3822oif 8420 . . . . . . 7 𝐺:dom 𝐺⟶(𝐹 supp ∅)
3938ffvelrni 6344 . . . . . 6 ( dom 𝐺 ∈ dom 𝐺 → (𝐺 dom 𝐺) ∈ (𝐹 supp ∅))
4037, 39syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 dom 𝐺) ∈ (𝐹 supp ∅))
4120, 40sseldd 3596 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 dom 𝐺) ∈ 𝐴)
42 onelon 5736 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐺 dom 𝐺) ∈ 𝐴) → (𝐺 dom 𝐺) ∈ On)
432, 41, 42syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → (𝐺 dom 𝐺) ∈ On)
441, 43syl5eqel 2703 . 2 (𝜑𝑊 ∈ On)
45 oecl 7602 . . . . . . 7 ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (ω ↑𝑜 𝐴) ∈ On)
466, 2, 45sylancr 694 . . . . . 6 (𝜑 → (ω ↑𝑜 𝐴) ∈ On)
47 onelon 5736 . . . . . 6 (((ω ↑𝑜 𝐴) ∈ On ∧ 𝐵 ∈ (ω ↑𝑜 𝐴)) → 𝐵 ∈ On)
4846, 12, 47syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ On)
49 ontri1 5745 . . . . 5 ((ω ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (ω ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ ω))
506, 48, 49sylancr 694 . . . 4 (𝜑 → (ω ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ ω))
5132, 50mpbid 222 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ ω)
524fveq2i 6181 . . . . . . . 8 ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) = ((ω CNF 𝐴)‘((ω CNF 𝐴)‘𝐵))
53 f1ocnvfv2 6518 . . . . . . . . 9 (((ω CNF 𝐴):𝑆1-1-onto→(ω ↑𝑜 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ (ω ↑𝑜 𝐴)) → ((ω CNF 𝐴)‘((ω CNF 𝐴)‘𝐵)) = 𝐵)
548, 12, 53syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ω CNF 𝐴)‘((ω CNF 𝐴)‘𝐵)) = 𝐵)
5552, 54syl5eq 2666 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) = 𝐵)
5655adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑊 = ∅) → ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) = 𝐵)
576a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑊 = ∅) → ω ∈ On)
582adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑊 = ∅) → 𝐴 ∈ On)
5914adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑊 = ∅) → 𝐹𝑆)
6033a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑊 = ∅) → ∅ ∈ ω)
61 1on 7552 . . . . . . . . 9 1𝑜 ∈ On
6261a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑊 = ∅) → 1𝑜 ∈ On)
63 ovexd 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
645, 7, 2, 22, 14cantnfcl 8549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝐺 ∈ ω))
6564simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
6622oiiso 8427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → 𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp ∅)))
6763, 65, 66syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp ∅)))
6867ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → 𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp ∅)))
69 isof1o 6558 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp ∅)) → 𝐺:dom 𝐺1-1-onto→(𝐹 supp ∅))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → 𝐺:dom 𝐺1-1-onto→(𝐹 supp ∅))
71 f1ocnv 6136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺:dom 𝐺1-1-onto→(𝐹 supp ∅) → 𝐺:(𝐹 supp ∅)–1-1-onto→dom 𝐺)
72 f1of 6124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺:(𝐹 supp ∅)–1-1-onto→dom 𝐺𝐺:(𝐹 supp ∅)⟶dom 𝐺)
7370, 71, 723syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → 𝐺:(𝐹 supp ∅)⟶dom 𝐺)
74 ffvelrn 6343 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺:(𝐹 supp ∅)⟶dom 𝐺𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → (𝐺𝑥) ∈ dom 𝐺)
7573, 74sylancom 700 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → (𝐺𝑥) ∈ dom 𝐺)
76 elssuni 4458 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺𝑥) ∈ dom 𝐺 → (𝐺𝑥) ⊆ dom 𝐺)
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → (𝐺𝑥) ⊆ dom 𝐺)
78 onelon 5736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((dom 𝐺 ∈ On ∧ (𝐺𝑥) ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑥) ∈ On)
7924, 75, 78sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → (𝐺𝑥) ∈ On)
80 onuni 6978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (dom 𝐺 ∈ On → dom 𝐺 ∈ On)
8124, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom 𝐺 ∈ On
82 ontri1 5745 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺𝑥) ∈ On ∧ dom 𝐺 ∈ On) → ((𝐺𝑥) ⊆ dom 𝐺 ↔ ¬ dom 𝐺 ∈ (𝐺𝑥)))
8379, 81, 82sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → ((𝐺𝑥) ⊆ dom 𝐺 ↔ ¬ dom 𝐺 ∈ (𝐺𝑥)))
8477, 83mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → ¬ dom 𝐺 ∈ (𝐺𝑥))
8537ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → dom 𝐺 ∈ dom 𝐺)
86 isorel 6561 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp ∅)) ∧ ( dom 𝐺 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑥) ∈ dom 𝐺)) → ( dom 𝐺 E (𝐺𝑥) ↔ (𝐺 dom 𝐺) E (𝐺‘(𝐺𝑥))))
8768, 85, 75, 86syl12anc 1322 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → ( dom 𝐺 E (𝐺𝑥) ↔ (𝐺 dom 𝐺) E (𝐺‘(𝐺𝑥))))
88 fvex 6188 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺𝑥) ∈ V
8988epelc 5021 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( dom 𝐺 E (𝐺𝑥) ↔ dom 𝐺 ∈ (𝐺𝑥))
901breq1i 4651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 E (𝐺‘(𝐺𝑥)) ↔ (𝐺 dom 𝐺) E (𝐺‘(𝐺𝑥)))
91 fvex 6188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺‘(𝐺𝑥)) ∈ V
9291epelc 5021 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 E (𝐺‘(𝐺𝑥)) ↔ 𝑊 ∈ (𝐺‘(𝐺𝑥)))
9390, 92bitr3i 266 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 dom 𝐺) E (𝐺‘(𝐺𝑥)) ↔ 𝑊 ∈ (𝐺‘(𝐺𝑥)))
9487, 89, 933bitr3g 302 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → ( dom 𝐺 ∈ (𝐺𝑥) ↔ 𝑊 ∈ (𝐺‘(𝐺𝑥))))
95 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → 𝑊 = ∅)
96 f1ocnvfv2 6518 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺:dom 𝐺1-1-onto→(𝐹 supp ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → (𝐺‘(𝐺𝑥)) = 𝑥)
9770, 96sylancom 700 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → (𝐺‘(𝐺𝑥)) = 𝑥)
9895, 97eleq12d 2693 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → (𝑊 ∈ (𝐺‘(𝐺𝑥)) ↔ ∅ ∈ 𝑥))
9994, 98bitrd 268 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → ( dom 𝐺 ∈ (𝐺𝑥) ↔ ∅ ∈ 𝑥))
10084, 99mtbid 314 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → ¬ ∅ ∈ 𝑥)
101 onss 6975 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ On → 𝐴 ⊆ On)
1022, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ⊆ On)
10320, 102sstrd 3605 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ On)
104103adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑊 = ∅) → (𝐹 supp ∅) ⊆ On)
105104sselda 3595 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → 𝑥 ∈ On)
106 on0eqel 5833 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ On → (𝑥 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝑥))
107105, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → (𝑥 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝑥))
108107ord 392 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → (¬ 𝑥 = ∅ → ∅ ∈ 𝑥))
109100, 108mt3d 140 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → 𝑥 = ∅)
110 el1o 7564 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ 1𝑜𝑥 = ∅)
111109, 110sylibr 224 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → 𝑥 ∈ 1𝑜)
112111ex 450 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑊 = ∅) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅) → 𝑥 ∈ 1𝑜))
113112ssrdv 3601 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑊 = ∅) → (𝐹 supp ∅) ⊆ 1𝑜)
1145, 57, 58, 59, 60, 62, 113cantnflt2 8555 . . . . . . 7 ((𝜑𝑊 = ∅) → ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) ∈ (ω ↑𝑜 1𝑜))
115 oe1 7609 . . . . . . . 8 (ω ∈ On → (ω ↑𝑜 1𝑜) = ω)
1166, 115ax-mp 5 . . . . . . 7 (ω ↑𝑜 1𝑜) = ω
117114, 116syl6eleq 2709 . . . . . 6 ((𝜑𝑊 = ∅) → ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) ∈ ω)
11856, 117eqeltrrd 2700 . . . . 5 ((𝜑𝑊 = ∅) → 𝐵 ∈ ω)
119118ex 450 . . . 4 (𝜑 → (𝑊 = ∅ → 𝐵 ∈ ω))
120119necon3bd 2805 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝐵 ∈ ω → 𝑊 ≠ ∅))
12151, 120mpd 15 . 2 (𝜑𝑊 ≠ ∅)
122 dif1o 7565 . 2 (𝑊 ∈ (On ∖ 1𝑜) ↔ (𝑊 ∈ On ∧ 𝑊 ≠ ∅))
12344, 121, 122sylanbrc 697 1 (𝜑𝑊 ∈ (On ∖ 1𝑜))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  Vcvv 3195  cdif 3564  cun 3565  wss 3567  c0 3907   cuni 4427   class class class wbr 4644  cmpt 4720   E cep 5018   We wwe 5062  ccnv 5103  dom cdm 5104  Oncon0 5711  suc csuc 5713  wf 5872  1-1-ontowf1o 5875  cfv 5876   Isom wiso 5877  (class class class)co 6635  cmpt2 6637  ωcom 7050   supp csupp 7280  seq𝜔cseqom 7527  1𝑜c1o 7538   +𝑜 coa 7542   ·𝑜 comu 7543  𝑜 coe 7544   finSupp cfsupp 8260  OrdIsocoi 8399   CNF ccnf 8543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-seqom 7528  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-omul 7550  df-oexp 7551  df-er 7727  df-map 7844  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-oi 8400  df-cnf 8544
This theorem is referenced by:  cnfcom3  8586  cnfcom3clem  8587
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