Theorem cnfld0 19818

Description: The zero element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnfld0	⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfld0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		00id 10249	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
2		cnring 19816	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
3		ringgrp 18598	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Grp
5		0cn 10070	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
6		cnfldbas 19798	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
7		cnfldadd 19799	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
8		eqid 2651	. . . . 5 ⊢ (0g‘ℂfld) = (0g‘ℂfld)
9	6, 7, 8	grpid 17504	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Grp ∧ 0 ∈ ℂ) → ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0))
10	4, 5, 9	mp2an 708	. . 3 ⊢ ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0)
11	1, 10	mpbi 220	. 2 ⊢ (0g‘ℂfld) = 0
12	11	eqcomi 2660	1 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

Syntax hints:   ↔ wb 196   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  0cc0 9974   + caddc 9977  0_gc0g 16147  Grpcgrp 17469  Ringcrg 18593  ℂ_fldccnfld 19794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-addf 10053  ax-mulf 10054

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-cmn 18241  df-mgp 18536  df-ring 18595  df-cring 18596  df-cnfld 19795

This theorem is referenced by:  cnfldneg  19820  cndrng  19823  cnflddiv  19824  cnfldinv  19825  cnfldmulg  19826  cnsubmlem  19842  cnsubdrglem  19845  absabv  19851  qsssubdrg  19853  cnmgpabl  19855  cnmsubglem  19857  gzrngunitlem  19859  gzrngunit  19860  gsumfsum  19861  expmhm  19863  nn0srg  19864  rge0srg  19865  zring0  19876  zringunit  19884  expghm  19892  psgninv  19976  zrhpsgnmhm  19978  re0g  20006  regsumsupp  20016  cnfldnm  22629  clm0  22918  cphsubrglem  23023  cphreccllem  23024  tdeglem1  23863  tdeglem3  23864  tdeglem4  23865  plypf1  24013  dvply2g  24085  tayl0  24161  taylpfval  24164  efsubm  24342  jensenlem2  24759  jensen  24760  amgmlem  24761  amgm  24762  dchrghm  25026  dchrabs  25030  sum2dchr  25044  lgseisenlem4  25148  qrng0  25355  xrge0slmod  29972  zringnm  30132  rezh  30143  fsumcnsrcl  38053  cnsrplycl  38054  rngunsnply  38060  proot1ex  38096  deg1mhm  38102  2zrng0  42263  amgmwlem  42876  amgmlemALT  42877