Theorem cnfld0 19538

Description: The zero element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnfld0	⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfld0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		00id 10063	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
2		cnring 19536	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
3		ringgrp 18324	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Grp
5		0cn 9889	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
6		cnfldbas 19520	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
7		cnfldadd 19521	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
8		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (0g‘ℂfld) = (0g‘ℂfld)
9	6, 7, 8	grpid 17229	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Grp ∧ 0 ∈ ℂ) → ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0))
10	4, 5, 9	mp2an 704	. . 3 ⊢ ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0)
11	1, 10	mpbi 219	. 2 ⊢ (0g‘ℂfld) = 0
12	11	eqcomi 2619	1 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

Syntax hints:   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5790  (class class class)co 6527  ℂcc 9791  0cc0 9793   + caddc 9796  0_gc0g 15872  Grpcgrp 17194  Ringcrg 18319  ℂ_fldccnfld 19516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-addf 9872  ax-mulf 9873

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-7 10934  df-8 10935  df-9 10936  df-n0 11143  df-z 11214  df-dec 11329  df-uz 11523  df-fz 12156  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-plusg 15730  df-mulr 15731  df-starv 15732  df-tset 15736  df-ple 15737  df-ds 15740  df-unif 15741  df-0g 15874  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-grp 17197  df-cmn 17967  df-mgp 18262  df-ring 18321  df-cring 18322  df-cnfld 19517

This theorem is referenced by:  cnfldneg  19540  cndrng  19543  cnflddiv  19544  cnfldinv  19545  cnfldmulg  19546  cnsubmlem  19562  cnsubdrglem  19565  absabv  19571  qsssubdrg  19573  cnmgpabl  19575  cnmsubglem  19577  gzrngunitlem  19579  gzrngunit  19580  gsumfsum  19581  expmhm  19583  nn0srg  19584  rge0srg  19585  zring0  19596  zringunit  19606  expghm  19611  psgninv  19695  zrhpsgnmhm  19697  re0g  19725  regsumsupp  19735  cnfldnm  22340  clm0  22628  cphsubrglem  22730  cphreccllem  22731  tdeglem1  23567  tdeglem3  23568  tdeglem4  23569  plypf1  23717  dvply2g  23789  tayl0  23865  taylpfval  23868  efsubm  24046  jensenlem2  24459  jensen  24460  amgmlem  24461  amgm  24462  dchrghm  24726  dchrabs  24730  sum2dchr  24744  lgseisenlem4  24848  qrng0  25055  xrge0slmod  28969  zringnm  29126  rezh  29137  fsumcnsrcl  36549  cnsrplycl  36550  rngunsnply  36556  proot1ex  36592  deg1mhm  36598  2zrng0  41720  amgmwlem  42310  amgmlemALT  42311