MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfldadd 19514
Description: The addition operation of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
cnfldadd + = (+g‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldadd
StepHypRef Expression
1 addex 11658 . 2 + ∈ V
2 cnfldstr 19511 . . 3 fld Struct ⟨1, 13⟩
3 plusgid 15746 . . 3 +g = Slot (+g‘ndx)
4 snsstp2 4283 . . . 4 {⟨(+g‘ndx), + ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
5 ssun1 3733 . . . . 5 {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
6 ssun1 3733 . . . . . 6 ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7 df-cnfld 19510 . . . . . 6 fld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
86, 7sseqtr4i 3596 . . . . 5 ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ ℂfld
95, 8sstri 3572 . . . 4 {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ℂfld
104, 9sstri 3572 . . 3 {⟨(+g‘ndx), + ⟩} ⊆ ℂfld
112, 3, 10strfv 15677 . 2 ( + ∈ V → + = (+g‘ℂfld))
121, 11ax-mp 5 1 + = (+g‘ℂfld)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1474  wcel 1975  Vcvv 3168  cun 3533  {csn 4120  {ctp 4124  cop 4126  ccom 5028  cfv 5786  cc 9786  1c1 9789   + caddc 9791   · cmul 9793  cle 9927  cmin 10113  3c3 10914  cdc 11321  ccj 13626  abscabs 13764  ndxcnx 15634  Basecbs 15637  +gcplusg 15710  .rcmulr 15711  *𝑟cstv 15712  TopSetcts 15716  lecple 15717  distcds 15719  UnifSetcunif 15720  MetOpencmopn 19499  metUnifcmetu 19500  fldccnfld 19509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-addf 9867
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-7 10927  df-8 10928  df-9 10929  df-n0 11136  df-z 11207  df-dec 11322  df-uz 11516  df-fz 12149  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-starv 15725  df-tset 15729  df-ple 15730  df-ds 15733  df-unif 15734  df-cnfld 19510
This theorem is referenced by:  cncrng  19528  cnfld0  19531  cnfldneg  19533  cnfldplusf  19534  cnfldsub  19535  cnfldmulg  19539  cnsrng  19541  cnsubmlem  19555  cnsubglem  19556  absabv  19564  cnsubrg  19567  gsumfsum  19574  regsumfsum  19575  expmhm  19576  nn0srg  19577  rge0srg  19578  zringplusg  19586  replusg  19716  regsumsupp  19728  clmadd  22609  clmacl  22619  isclmp  22632  cnlmod  22673  cnncvsaddassdemo  22691  cphsqrtcl2  22714  ipcau2  22758  tdeglem3  23536  tdeglem4  23537  taylply2  23839  efgh  24004  efabl  24013  jensenlem1  24426  jensenlem2  24427  amgmlem  24429  qabvle  25027  padicabv  25032  ostth2lem2  25036  ostth3  25040  xrge0slmod  28977  qqhghm  29162  qqhrhm  29163  esumpfinvallem  29265  fsumcnsrcl  36554  rngunsnply  36561  deg1mhm  36603  amgm2d  37322  amgm3d  37323  amgm4d  37324  sge0tsms  39073  cnfldsrngadd  41558  aacllem  42315  amgmw2d  42318
  Copyright terms: Public domain W3C validator