MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfldadd 19732
Description: The addition operation of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
cnfldadd + = (+g‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldadd
StepHypRef Expression
1 addex 11815 . 2 + ∈ V
2 cnfldstr 19729 . . 3 fld Struct ⟨1, 13⟩
3 plusgid 15958 . . 3 +g = Slot (+g‘ndx)
4 snsstp2 4339 . . . 4 {⟨(+g‘ndx), + ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
5 ssun1 3768 . . . . 5 {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
6 ssun1 3768 . . . . . 6 ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7 df-cnfld 19728 . . . . . 6 fld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
86, 7sseqtr4i 3630 . . . . 5 ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ ℂfld
95, 8sstri 3604 . . . 4 {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ℂfld
104, 9sstri 3604 . . 3 {⟨(+g‘ndx), + ⟩} ⊆ ℂfld
112, 3, 10strfv 15888 . 2 ( + ∈ V → + = (+g‘ℂfld))
121, 11ax-mp 5 1 + = (+g‘ℂfld)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1481  wcel 1988  Vcvv 3195  cun 3565  {csn 4168  {ctp 4172  cop 4174  ccom 5108  cfv 5876  cc 9919  1c1 9922   + caddc 9924   · cmul 9926  cle 10060  cmin 10251  3c3 11056  cdc 11478  ccj 13817  abscabs 13955  ndxcnx 15835  Basecbs 15838  +gcplusg 15922  .rcmulr 15923  *𝑟cstv 15924  TopSetcts 15928  lecple 15929  distcds 15931  UnifSetcunif 15932  MetOpencmopn 19717  metUnifcmetu 19718  fldccnfld 19727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-addf 10000
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-fz 12312  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-cnfld 19728
This theorem is referenced by:  cncrng  19748  cnfld0  19751  cnfldneg  19753  cnfldplusf  19754  cnfldsub  19755  cnfldmulg  19759  cnsrng  19761  cnsubmlem  19775  cnsubglem  19776  absabv  19784  cnsubrg  19787  gsumfsum  19794  regsumfsum  19795  expmhm  19796  nn0srg  19797  rge0srg  19798  zringplusg  19806  replusg  19937  regsumsupp  19949  clmadd  22855  clmacl  22865  isclmp  22878  cnlmod  22921  cnncvsaddassdemo  22944  cphsqrtcl2  22967  ipcau2  23014  tdeglem3  23800  tdeglem4  23801  taylply2  24103  efgh  24268  efabl  24277  jensenlem1  24694  jensenlem2  24695  amgmlem  24697  qabvle  25295  padicabv  25300  ostth2lem2  25304  ostth3  25308  xrge0slmod  29818  qqhghm  30006  qqhrhm  30007  esumpfinvallem  30110  fsumcnsrcl  37555  rngunsnply  37562  deg1mhm  37604  amgm2d  38321  amgm3d  38322  amgm4d  38323  sge0tsms  40360  cnfldsrngadd  41535  aacllem  42312  amgmw2d  42315
  Copyright terms: Public domain W3C validator