Theorem cnfldcusp 23954

Description: The field of complex numbers is a complete uniform space. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldcusp	⊢ ℂfld ∈ CUnifSp

Proof of Theorem cnfldcusp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 10627	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
2	1	ne0ii 4302	. 2 ⊢ ℂ ≠ ∅
3		cncms 23952	. 2 ⊢ ℂfld ∈ CMetSp
4		eqid 2821	. . 3 ⊢ (UnifSt‘ℂfld) = (UnifSt‘ℂfld)
5	4	cnflduss 23953	. 2 ⊢ (UnifSt‘ℂfld) = (metUnif‘(abs ∘ − ))
6		cnfldbas 20543	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
7		absf 14691	. . . . . 6 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
8		subf 10882	. . . . . 6 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
9		fco 6525	. . . . . 6 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ)
10	7, 8, 9	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ
11		ffn 6508	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ → (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ))
12		fnresdm 6460	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − ))
13	10, 11, 12	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − )
14		cnfldds 20549	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
15	14	reseq1i 5843	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = ((dist‘ℂfld) ↾ (ℂ × ℂ))
16	13, 15	eqtr3i 2846	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ) = ((dist‘ℂfld) ↾ (ℂ × ℂ))
17	6, 16, 4	cmetcusp1 23950	. 2 ⊢ ((ℂ ≠ ∅ ∧ ℂfld ∈ CMetSp ∧ (UnifSt‘ℂfld) = (metUnif‘(abs ∘ − ))) → ℂfld ∈ CUnifSp)
18	2, 3, 5, 17	mp3an 1457	1 ⊢ ℂfld ∈ CUnifSp

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∅c0 4290   × cxp 5547   ↾ cres 5551   ∘ ccom 5553   Fn wfn 6344  ⟶wf 6345  ‘cfv 6349  ℂcc 10529  ℝcr 10530  0cc0 10531   − cmin 10864  abscabs 14587  distcds 16568  metUnifcmetu 20530  ℂ_fldccnfld 20539  UnifStcuss 22856  CUnifSpccusp 22900  CMetSpccms 23929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-iin 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ioo 12736  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-rest 16690  df-topn 16691  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-topgen 16711  df-pt 16712  df-prds 16715  df-xrs 16769  df-qtop 16774  df-imas 16775  df-xps 16777  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-mulg 18219  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-fbas 20536  df-fg 20537  df-metu 20538  df-cnfld 20540  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-cld 21621  df-ntr 21622  df-cls 21623  df-nei 21700  df-cn 21829  df-cnp 21830  df-haus 21917  df-cmp 21989  df-tx 22164  df-hmeo 22357  df-fil 22448  df-flim 22541  df-fcls 22543  df-ust 22803  df-utop 22834  df-uss 22859  df-usp 22860  df-cfilu 22890  df-cusp 22901  df-xms 22924  df-ms 22925  df-tms 22926  df-cncf 23480  df-cfil 23852  df-cmet 23854  df-cms 23932

This theorem is referenced by:  cnrrext  31246