Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfldexp 19981
 Description: The exponentiation operator in the field of complex numbers (for nonnegative exponents). (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnfldexp ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴𝐵))

Proof of Theorem cnfldexp
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6820 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (0(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴))
2 oveq2 6821 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝐴𝑥) = (𝐴↑0))
31, 2eqeq12d 2775 . . . 4 (𝑥 = 0 → ((𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴𝑥) ↔ (0(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑0)))
43imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = 0 → ((𝐴 ∈ ℂ → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴𝑥)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (0(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑0))))
5 oveq1 6820 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴))
6 oveq2 6821 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑦))
75, 6eqeq12d 2775 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴𝑥) ↔ (𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴𝑦)))
87imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 ∈ ℂ → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴𝑥)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴𝑦))))
9 oveq1 6820 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = ((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴))
10 oveq2 6821 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐴𝑥) = (𝐴↑(𝑦 + 1)))
119, 10eqeq12d 2775 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴𝑥) ↔ ((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑(𝑦 + 1))))
1211imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐴 ∈ ℂ → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴𝑥)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑(𝑦 + 1)))))
13 oveq1 6820 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐵(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴))
14 oveq2 6821 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝐵))
1513, 14eqeq12d 2775 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴𝑥) ↔ (𝐵(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴𝐵)))
1615imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ℂ → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴𝑥)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐵(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴𝐵))))
17 eqid 2760 . . . . . 6 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
18 cnfldbas 19952 . . . . . 6 ℂ = (Base‘ℂfld)
1917, 18mgpbas 18695 . . . . 5 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
20 cnfld1 19973 . . . . . 6 1 = (1r‘ℂfld)
2117, 20ringidval 18703 . . . . 5 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
22 eqid 2760 . . . . 5 (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
2319, 21, 22mulg0 17747 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (0(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = 1)
24 exp0 13058 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
2523, 24eqtr4d 2797 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (0(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑0))
26 oveq1 6820 . . . . . 6 ((𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴𝑦) → ((𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) · 𝐴) = ((𝐴𝑦) · 𝐴))
27 cnring 19970 . . . . . . . . . 10 fld ∈ Ring
2817ringmgp 18753 . . . . . . . . . 10 (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
30 cnfldmul 19954 . . . . . . . . . . 11 · = (.r‘ℂfld)
3117, 30mgpplusg 18693 . . . . . . . . . 10 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
3219, 22, 31mulgnn0p1 17753 . . . . . . . . 9 (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = ((𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) · 𝐴))
3329, 32mp3an1 1560 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = ((𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) · 𝐴))
3433ancoms 468 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = ((𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) · 𝐴))
35 expp1 13061 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑦 + 1)) = ((𝐴𝑦) · 𝐴))
3634, 35eqeq12d 2775 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑(𝑦 + 1)) ↔ ((𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) · 𝐴) = ((𝐴𝑦) · 𝐴)))
3726, 36syl5ibr 236 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴𝑦) → ((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑(𝑦 + 1))))
3837expcom 450 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴𝑦) → ((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑(𝑦 + 1)))))
3938a2d 29 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ → (𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴𝑦)) → (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑(𝑦 + 1)))))
404, 8, 12, 16, 25, 39nn0ind 11664 . 2 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐵(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴𝐵)))
4140impcom 445 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℂcc 10126  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133  ℕ0cn0 11484  ↑cexp 13054  Mndcmnd 17495  .gcmg 17741  mulGrpcmgp 18689  Ringcrg 18747  ℂfldccnfld 19948 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-addf 10207  ax-mulf 10208 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-fz 12520  df-seq 12996  df-exp 13055  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-mulg 17742  df-cmn 18395  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-cring 18750  df-cnfld 19949 This theorem is referenced by:  cmodscexp  23121  plypf1  24167  dchrfi  25179  dchrabs  25184  lgsqrlem1  25270  lgseisenlem4  25302  dchrisum0flblem1  25396  proot1ex  38281
 Copyright terms: Public domain W3C validator