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Theorem cnfldfun 19739
Description: The field of complex numbers is a function. (Contributed by AV, 14-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
cnfldfun Fun ℂfld

Proof of Theorem cnfldfun
StepHypRef Expression
1 basendxnplusgndx 15970 . . . . . . 7 (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
2 basendxnmulrndx 15980 . . . . . . 7 (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
3 plusgndxnmulrndx 15979 . . . . . . 7 (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
4 fvex 6188 . . . . . . . 8 (Base‘ndx) ∈ V
5 fvex 6188 . . . . . . . 8 (+g‘ndx) ∈ V
6 fvex 6188 . . . . . . . 8 (.r‘ndx) ∈ V
7 cnex 10002 . . . . . . . 8 ℂ ∈ V
8 addex 11815 . . . . . . . 8 + ∈ V
9 mulex 11816 . . . . . . . 8 · ∈ V
104, 5, 6, 7, 8, 9funtp 5933 . . . . . . 7 (((Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx)) → Fun {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩})
111, 2, 3, 10mp3an 1422 . . . . . 6 Fun {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
12 fvex 6188 . . . . . . 7 (*𝑟‘ndx) ∈ V
13 cjf 13825 . . . . . . . 8 ∗:ℂ⟶ℂ
14 fex 6475 . . . . . . . 8 ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ ℂ ∈ V) → ∗ ∈ V)
1513, 7, 14mp2an 707 . . . . . . 7 ∗ ∈ V
1612, 15funsn 5927 . . . . . 6 Fun {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}
1711, 16pm3.2i 471 . . . . 5 (Fun {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ Fun {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
187, 8, 9dmtpop 5599 . . . . . . 7 dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} = {(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)}
1915dmsnop 5597 . . . . . . 7 dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} = {(*𝑟‘ndx)}
2018, 19ineq12i 3804 . . . . . 6 (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)})
21 basendx 15904 . . . . . . . 8 (Base‘ndx) = 1
22 1re 10024 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
23 1lt4 11184 . . . . . . . . . 10 1 < 4
2422, 23ltneii 10135 . . . . . . . . 9 1 ≠ 4
25 starvndx 15985 . . . . . . . . 9 (*𝑟‘ndx) = 4
2624, 25neeqtrri 2864 . . . . . . . 8 1 ≠ (*𝑟‘ndx)
2721, 26eqnetri 2861 . . . . . . 7 (Base‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
28 plusgndx 15957 . . . . . . . 8 (+g‘ndx) = 2
29 2re 11075 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
30 2lt4 11183 . . . . . . . . . 10 2 < 4
3129, 30ltneii 10135 . . . . . . . . 9 2 ≠ 4
3231, 25neeqtrri 2864 . . . . . . . 8 2 ≠ (*𝑟‘ndx)
3328, 32eqnetri 2861 . . . . . . 7 (+g‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
34 mulrndx 15977 . . . . . . . 8 (.r‘ndx) = 3
35 3re 11079 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
36 3lt4 11182 . . . . . . . . . 10 3 < 4
3735, 36ltneii 10135 . . . . . . . . 9 3 ≠ 4
3837, 25neeqtrri 2864 . . . . . . . 8 3 ≠ (*𝑟‘ndx)
3934, 38eqnetri 2861 . . . . . . 7 (.r‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
40 disjtpsn 4242 . . . . . . 7 (((Base‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)) → ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)}) = ∅)
4127, 33, 39, 40mp3an 1422 . . . . . 6 ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)}) = ∅
4220, 41eqtri 2642 . . . . 5 (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = ∅
43 funun 5920 . . . . 5 (((Fun {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ Fun {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = ∅) → Fun ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}))
4417, 42, 43mp2an 707 . . . 4 Fun ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
45 tsetndx 16021 . . . . . . . 8 (TopSet‘ndx) = 9
46 9re 11092 . . . . . . . . . 10 9 ∈ ℝ
47 9lt10 11658 . . . . . . . . . 10 9 < 10
4846, 47ltneii 10135 . . . . . . . . 9 9 ≠ 10
49 plendx 16028 . . . . . . . . 9 (le‘ndx) = 10
5048, 49neeqtrri 2864 . . . . . . . 8 9 ≠ (le‘ndx)
5145, 50eqnetri 2861 . . . . . . 7 (TopSet‘ndx) ≠ (le‘ndx)
52 1nn 11016 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ
53 2nn0 11294 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
54 9nn0 11301 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℕ0
5546leidi 10547 . . . . . . . . . . 11 9 ≤ 9
5652, 53, 54, 55decltdi 11532 . . . . . . . . . 10 9 < 12
5746, 56ltneii 10135 . . . . . . . . 9 9 ≠ 12
58 dsndx 16043 . . . . . . . . 9 (dist‘ndx) = 12
5957, 58neeqtrri 2864 . . . . . . . 8 9 ≠ (dist‘ndx)
6045, 59eqnetri 2861 . . . . . . 7 (TopSet‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
61 10re 11502 . . . . . . . . . 10 10 ∈ ℝ
62 1nn0 11293 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ0
63 0nn0 11292 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℕ0
64 2nn 11170 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
65 2pos 11097 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
6662, 63, 64, 65declt 11515 . . . . . . . . . 10 10 < 12
6761, 66ltneii 10135 . . . . . . . . 9 10 ≠ 12
6867, 58neeqtrri 2864 . . . . . . . 8 10 ≠ (dist‘ndx)
6949, 68eqnetri 2861 . . . . . . 7 (le‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
70 fvex 6188 . . . . . . . 8 (TopSet‘ndx) ∈ V
71 fvex 6188 . . . . . . . 8 (le‘ndx) ∈ V
72 fvex 6188 . . . . . . . 8 (dist‘ndx) ∈ V
73 fvex 6188 . . . . . . . 8 (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ V
74 letsr 17208 . . . . . . . . 9 ≤ ∈ TosetRel
7574elexi 3208 . . . . . . . 8 ≤ ∈ V
76 absf 14058 . . . . . . . . . 10 abs:ℂ⟶ℝ
77 fex 6475 . . . . . . . . . 10 ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℂ ∈ V) → abs ∈ V)
7876, 7, 77mp2an 707 . . . . . . . . 9 abs ∈ V
79 subf 10268 . . . . . . . . . 10 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
807, 7xpex 6947 . . . . . . . . . 10 (ℂ × ℂ) ∈ V
81 fex 6475 . . . . . . . . . 10 (( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ ∧ (ℂ × ℂ) ∈ V) → − ∈ V)
8279, 80, 81mp2an 707 . . . . . . . . 9 − ∈ V
8378, 82coex 7103 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) ∈ V
8470, 71, 72, 73, 75, 83funtp 5933 . . . . . . 7 (((TopSet‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (dist‘ndx)) → Fun {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩})
8551, 60, 69, 84mp3an 1422 . . . . . 6 Fun {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}
86 fvex 6188 . . . . . . 7 (UnifSet‘ndx) ∈ V
87 fvex 6188 . . . . . . 7 (metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ V
8886, 87funsn 5927 . . . . . 6 Fun {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}
8985, 88pm3.2i 471 . . . . 5 (Fun {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ Fun {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})
9073, 75, 83dmtpop 5599 . . . . . . 7 dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} = {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)}
9187dmsnop 5597 . . . . . . 7 dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩} = {(UnifSet‘ndx)}
9290, 91ineq12i 3804 . . . . . 6 (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)})
93 3nn0 11295 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ0
9452, 93, 54, 55decltdi 11532 . . . . . . . . . 10 9 < 13
9546, 94ltneii 10135 . . . . . . . . 9 9 ≠ 13
96 unifndx 16045 . . . . . . . . 9 (UnifSet‘ndx) = 13
9795, 96neeqtrri 2864 . . . . . . . 8 9 ≠ (UnifSet‘ndx)
9845, 97eqnetri 2861 . . . . . . 7 (TopSet‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
99 3nn 11171 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ
100 3pos 11099 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
10162, 63, 99, 100declt 11515 . . . . . . . . . 10 10 < 13
10261, 101ltneii 10135 . . . . . . . . 9 10 ≠ 13
103102, 96neeqtrri 2864 . . . . . . . 8 10 ≠ (UnifSet‘ndx)
10449, 103eqnetri 2861 . . . . . . 7 (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
10562, 53deccl 11497 . . . . . . . . . . 11 12 ∈ ℕ0
106105nn0rei 11288 . . . . . . . . . 10 12 ∈ ℝ
107 2lt3 11180 . . . . . . . . . . 11 2 < 3
10862, 53, 99, 107declt 11515 . . . . . . . . . 10 12 < 13
109106, 108ltneii 10135 . . . . . . . . 9 12 ≠ 13
110109, 96neeqtrri 2864 . . . . . . . 8 12 ≠ (UnifSet‘ndx)
11158, 110eqnetri 2861 . . . . . . 7 (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
112 disjtpsn 4242 . . . . . . 7 (((TopSet‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) → ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅)
11398, 104, 111, 112mp3an 1422 . . . . . 6 ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅
11492, 113eqtri 2642 . . . . 5 (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅
115 funun 5920 . . . . 5 (((Fun {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ Fun {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) ∧ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅) → Fun ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
11689, 114, 115mp2an 707 . . . 4 Fun ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})
11744, 116pm3.2i 471 . . 3 (Fun ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ Fun ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
118 dmun 5320 . . . . 5 dom ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
119 dmun 5320 . . . . 5 dom ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})
120118, 119ineq12i 3804 . . . 4 (dom ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ dom ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
12118, 90ineq12i 3804 . . . . . . . . 9 (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)})
122 1lt9 11214 . . . . . . . . . . . . . 14 1 < 9
12322, 122ltneii 10135 . . . . . . . . . . . . 13 1 ≠ 9
124123, 45neeqtrri 2864 . . . . . . . . . . . 12 1 ≠ (TopSet‘ndx)
12521, 124eqnetri 2861 . . . . . . . . . . 11 (Base‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
126 2lt9 11213 . . . . . . . . . . . . . 14 2 < 9
12729, 126ltneii 10135 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 9
128127, 45neeqtrri 2864 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ (TopSet‘ndx)
12928, 128eqnetri 2861 . . . . . . . . . . 11 (+g‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
130 3lt9 11212 . . . . . . . . . . . . . 14 3 < 9
13135, 130ltneii 10135 . . . . . . . . . . . . 13 3 ≠ 9
132131, 45neeqtrri 2864 . . . . . . . . . . . 12 3 ≠ (TopSet‘ndx)
13334, 132eqnetri 2861 . . . . . . . . . . 11 (.r‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
134125, 129, 1333pm3.2i 1237 . . . . . . . . . 10 ((Base‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx))
135 1lt10 11666 . . . . . . . . . . . . . 14 1 < 10
13622, 135ltneii 10135 . . . . . . . . . . . . 13 1 ≠ 10
137136, 49neeqtrri 2864 . . . . . . . . . . . 12 1 ≠ (le‘ndx)
13821, 137eqnetri 2861 . . . . . . . . . . 11 (Base‘ndx) ≠ (le‘ndx)
139 2lt10 11665 . . . . . . . . . . . . . 14 2 < 10
14029, 139ltneii 10135 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 10
141140, 49neeqtrri 2864 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ (le‘ndx)
14228, 141eqnetri 2861 . . . . . . . . . . 11 (+g‘ndx) ≠ (le‘ndx)
143 3lt10 11664 . . . . . . . . . . . . . 14 3 < 10
14435, 143ltneii 10135 . . . . . . . . . . . . 13 3 ≠ 10
145144, 49neeqtrri 2864 . . . . . . . . . . . 12 3 ≠ (le‘ndx)
14634, 145eqnetri 2861 . . . . . . . . . . 11 (.r‘ndx) ≠ (le‘ndx)
147138, 142, 1463pm3.2i 1237 . . . . . . . . . 10 ((Base‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (le‘ndx))
14822, 46, 122ltleii 10145 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ≤ 9
14952, 53, 62, 148decltdi 11532 . . . . . . . . . . . . . 14 1 < 12
15022, 149ltneii 10135 . . . . . . . . . . . . 13 1 ≠ 12
151150, 58neeqtrri 2864 . . . . . . . . . . . 12 1 ≠ (dist‘ndx)
15221, 151eqnetri 2861 . . . . . . . . . . 11 (Base‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
15329, 46, 126ltleii 10145 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ≤ 9
15452, 53, 53, 153decltdi 11532 . . . . . . . . . . . . . 14 2 < 12
15529, 154ltneii 10135 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 12
156155, 58neeqtrri 2864 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ (dist‘ndx)
15728, 156eqnetri 2861 . . . . . . . . . . 11 (+g‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
15835, 46, 130ltleii 10145 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ≤ 9
15952, 53, 93, 158decltdi 11532 . . . . . . . . . . . . . 14 3 < 12
16035, 159ltneii 10135 . . . . . . . . . . . . 13 3 ≠ 12
161160, 58neeqtrri 2864 . . . . . . . . . . . 12 3 ≠ (dist‘ndx)
16234, 161eqnetri 2861 . . . . . . . . . . 11 (.r‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
163152, 157, 1623pm3.2i 1237 . . . . . . . . . 10 ((Base‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (dist‘ndx))
164 disjtp2 4243 . . . . . . . . . 10 ((((Base‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)) ∧ ((Base‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (le‘ndx)) ∧ ((Base‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (dist‘ndx))) → ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)}) = ∅)
165134, 147, 163, 164mp3an 1422 . . . . . . . . 9 ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)}) = ∅
166121, 165eqtri 2642 . . . . . . . 8 (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅
16718, 91ineq12i 3804 . . . . . . . . 9 (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)})
16852, 93, 62, 148decltdi 11532 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 13
16922, 168ltneii 10135 . . . . . . . . . . . 12 1 ≠ 13
170169, 96neeqtrri 2864 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ (UnifSet‘ndx)
17121, 170eqnetri 2861 . . . . . . . . . 10 (Base‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
17252, 93, 53, 153decltdi 11532 . . . . . . . . . . . . 13 2 < 13
17329, 172ltneii 10135 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 13
174173, 96neeqtrri 2864 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ (UnifSet‘ndx)
17528, 174eqnetri 2861 . . . . . . . . . 10 (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
17652, 93, 93, 158decltdi 11532 . . . . . . . . . . . . 13 3 < 13
17735, 176ltneii 10135 . . . . . . . . . . . 12 3 ≠ 13
178177, 96neeqtrri 2864 . . . . . . . . . . 11 3 ≠ (UnifSet‘ndx)
17934, 178eqnetri 2861 . . . . . . . . . 10 (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
180 disjtpsn 4242 . . . . . . . . . 10 (((Base‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) → ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅)
181171, 175, 179, 180mp3an 1422 . . . . . . . . 9 ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅
182167, 181eqtri 2642 . . . . . . . 8 (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅
183166, 182pm3.2i 471 . . . . . . 7 ((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅ ∧ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅)
184 undisj2 4021 . . . . . . 7 (((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅ ∧ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅) ↔ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅)
185183, 184mpbi 220 . . . . . 6 (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅
18619, 90ineq12i 3804 . . . . . . . . 9 (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)})
187 incom 3797 . . . . . . . . . 10 ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)}) = ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)})
188 4re 11082 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℝ
189 4lt9 11211 . . . . . . . . . . . . . 14 4 < 9
190188, 189gtneii 10134 . . . . . . . . . . . . 13 9 ≠ 4
191190, 25neeqtrri 2864 . . . . . . . . . . . 12 9 ≠ (*𝑟‘ndx)
19245, 191eqnetri 2861 . . . . . . . . . . 11 (TopSet‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
193 4lt10 11663 . . . . . . . . . . . . . 14 4 < 10
194188, 193gtneii 10134 . . . . . . . . . . . . 13 10 ≠ 4
195194, 25neeqtrri 2864 . . . . . . . . . . . 12 10 ≠ (*𝑟‘ndx)
19649, 195eqnetri 2861 . . . . . . . . . . 11 (le‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
197 4nn0 11296 . . . . . . . . . . . . . . 15 4 ∈ ℕ0
198188, 46, 189ltleii 10145 . . . . . . . . . . . . . . 15 4 ≤ 9
19952, 53, 197, 198decltdi 11532 . . . . . . . . . . . . . 14 4 < 12
200188, 199gtneii 10134 . . . . . . . . . . . . 13 12 ≠ 4
201200, 25neeqtrri 2864 . . . . . . . . . . . 12 12 ≠ (*𝑟‘ndx)
20258, 201eqnetri 2861 . . . . . . . . . . 11 (dist‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
203 disjtpsn 4242 . . . . . . . . . . 11 (((TopSet‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)) → ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)}) = ∅)
204192, 196, 202, 203mp3an 1422 . . . . . . . . . 10 ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)}) = ∅
205187, 204eqtri 2642 . . . . . . . . 9 ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)}) = ∅
206186, 205eqtri 2642 . . . . . . . 8 (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅
20719, 91ineq12i 3804 . . . . . . . . 9 (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)})
20852, 93, 197, 198decltdi 11532 . . . . . . . . . . . . 13 4 < 13
209188, 208ltneii 10135 . . . . . . . . . . . 12 4 ≠ 13
210209, 96neeqtrri 2864 . . . . . . . . . . 11 4 ≠ (UnifSet‘ndx)
21125, 210eqnetri 2861 . . . . . . . . . 10 (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
212 disjsn2 4238 . . . . . . . . . 10 ((*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) → ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅)
213211, 212ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅
214207, 213eqtri 2642 . . . . . . . 8 (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅
215206, 214pm3.2i 471 . . . . . . 7 ((dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅ ∧ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅)
216 undisj2 4021 . . . . . . 7 (((dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅ ∧ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅) ↔ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅)
217215, 216mpbi 220 . . . . . 6 (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅
218185, 217pm3.2i 471 . . . . 5 ((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅ ∧ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅)
219 undisj1 4020 . . . . 5 (((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅ ∧ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅) ↔ ((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅)
220218, 219mpbi 220 . . . 4 ((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅
221120, 220eqtri 2642 . . 3 (dom ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ dom ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅
222 funun 5920 . . 3 (((Fun ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ Fun ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) ∧ (dom ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ dom ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅) → Fun (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
223117, 221, 222mp2an 707 . 2 Fun (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
224 df-cnfld 19728 . . 3 fld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
225224funeqi 5897 . 2 (Fun ℂfld ↔ Fun (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
226223, 225mpbir 221 1 Fun ℂfld
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  Vcvv 3195  cun 3565  cin 3566  c0 3907  {csn 4168  {ctp 4172  cop 4174   × cxp 5102  dom cdm 5104  ccom 5108  Fun wfun 5870  wf 5872  cfv 5876  cc 9919  cr 9920  0cc0 9921  1c1 9922   + caddc 9924   · cmul 9926  cle 10060  cmin 10251  2c2 11055  3c3 11056  4c4 11057  9c9 11062  cdc 11478  ccj 13817  abscabs 13955  ndxcnx 15835  Basecbs 15838  +gcplusg 15922  .rcmulr 15923  *𝑟cstv 15924  TopSetcts 15928  lecple 15929  distcds 15931  UnifSetcunif 15932   TosetRel ctsr 17180  MetOpencmopn 19717  metUnifcmetu 19718  fldccnfld 19727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000  ax-mulf 10001
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-sup 8333  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-rp 11818  df-seq 12785  df-exp 12844  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-ps 17181  df-tsr 17182  df-cnfld 19728
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