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Theorem cnfldfunALT 19740
Description: Alternate proof of cnfldfun 19739 (much shorter proof, using cnfldstr 19729 and structn0fun 15850: in addition, it must be shown that ∅ ∉ ℂfld). (Contributed by AV, 18-Nov-2021.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
cnfldfunALT Fun ℂfld

Proof of Theorem cnfldfunALT
StepHypRef Expression
1 cnfldstr 19729 . 2 fld Struct ⟨1, 13⟩
2 structn0fun 15850 . . 3 (ℂfld Struct ⟨1, 13⟩ → Fun (ℂfld ∖ {∅}))
3 fvex 6188 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘ndx) ∈ V
4 cnex 10002 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ ∈ V
53, 4opnzi 4933 . . . . . . . . . . . 12 ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ≠ ∅
65nesymi 2848 . . . . . . . . . . 11 ¬ ∅ = ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩
7 fvex 6188 . . . . . . . . . . . . 13 (+g‘ndx) ∈ V
8 addex 11815 . . . . . . . . . . . . 13 + ∈ V
97, 8opnzi 4933 . . . . . . . . . . . 12 ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ≠ ∅
109nesymi 2848 . . . . . . . . . . 11 ¬ ∅ = ⟨(+g‘ndx), + ⟩
11 fvex 6188 . . . . . . . . . . . . 13 (.r‘ndx) ∈ V
12 mulex 11816 . . . . . . . . . . . . 13 · ∈ V
1311, 12opnzi 4933 . . . . . . . . . . . 12 ⟨(.r‘ndx), · ⟩ ≠ ∅
1413nesymi 2848 . . . . . . . . . . 11 ¬ ∅ = ⟨(.r‘ndx), · ⟩
15 3ioran 1054 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (∅ = ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∨ ∅ = ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∨ ∅ = ⟨(.r‘ndx), · ⟩) ↔ (¬ ∅ = ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∧ ¬ ∅ = ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∧ ¬ ∅ = ⟨(.r‘ndx), · ⟩))
16 0ex 4781 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ V
1716eltp 4221 . . . . . . . . . . . 12 (∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ↔ (∅ = ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∨ ∅ = ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∨ ∅ = ⟨(.r‘ndx), · ⟩))
1815, 17xchnxbir 323 . . . . . . . . . . 11 (¬ ∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ↔ (¬ ∅ = ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∧ ¬ ∅ = ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∧ ¬ ∅ = ⟨(.r‘ndx), · ⟩))
196, 10, 14, 18mpbir3an 1242 . . . . . . . . . 10 ¬ ∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
20 fvex 6188 . . . . . . . . . . . . 13 (*𝑟‘ndx) ∈ V
21 cjf 13825 . . . . . . . . . . . . . 14 ∗:ℂ⟶ℂ
22 fex 6475 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ ℂ ∈ V) → ∗ ∈ V)
2321, 4, 22mp2an 707 . . . . . . . . . . . . 13 ∗ ∈ V
2420, 23opnzi 4933 . . . . . . . . . . . 12 ⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩ ≠ ∅
2524necomi 2845 . . . . . . . . . . 11 ∅ ≠ ⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩
26 nelsn 4203 . . . . . . . . . . 11 (∅ ≠ ⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩ → ¬ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ¬ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}
2819, 27pm3.2i 471 . . . . . . . . 9 (¬ ∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
29 fvex 6188 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopSet‘ndx) ∈ V
30 fvex 6188 . . . . . . . . . . . . . 14 (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ V
3129, 30opnzi 4933 . . . . . . . . . . . . 13 ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩ ≠ ∅
3231nesymi 2848 . . . . . . . . . . . 12 ¬ ∅ = ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩
33 fvex 6188 . . . . . . . . . . . . . 14 (le‘ndx) ∈ V
34 letsr 17208 . . . . . . . . . . . . . . 15 ≤ ∈ TosetRel
3534elexi 3208 . . . . . . . . . . . . . 14 ≤ ∈ V
3633, 35opnzi 4933 . . . . . . . . . . . . 13 ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩ ≠ ∅
3736nesymi 2848 . . . . . . . . . . . 12 ¬ ∅ = ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩
38 fvex 6188 . . . . . . . . . . . . . 14 (dist‘ndx) ∈ V
39 absf 14058 . . . . . . . . . . . . . . . 16 abs:ℂ⟶ℝ
40 fex 6475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℂ ∈ V) → abs ∈ V)
4139, 4, 40mp2an 707 . . . . . . . . . . . . . . 15 abs ∈ V
42 subf 10268 . . . . . . . . . . . . . . . 16 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
434, 4xpex 6947 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℂ × ℂ) ∈ V
44 fex 6475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ ∧ (ℂ × ℂ) ∈ V) → − ∈ V)
4542, 43, 44mp2an 707 . . . . . . . . . . . . . . 15 − ∈ V
4641, 45coex 7103 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs ∘ − ) ∈ V
4738, 46opnzi 4933 . . . . . . . . . . . . 13 ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩ ≠ ∅
4847nesymi 2848 . . . . . . . . . . . 12 ¬ ∅ = ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩
49 3ioran 1054 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (∅ = ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩ ∨ ∅ = ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩ ∨ ∅ = ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩) ↔ (¬ ∅ = ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩ ∧ ¬ ∅ = ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩ ∧ ¬ ∅ = ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩))
5032, 37, 48, 49mpbir3an 1242 . . . . . . . . . . 11 ¬ (∅ = ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩ ∨ ∅ = ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩ ∨ ∅ = ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩)
5116eltp 4221 . . . . . . . . . . 11 (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ↔ (∅ = ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩ ∨ ∅ = ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩ ∨ ∅ = ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩))
5250, 51mtbir 313 . . . . . . . . . 10 ¬ ∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}
53 fvex 6188 . . . . . . . . . . . . 13 (UnifSet‘ndx) ∈ V
54 fvex 6188 . . . . . . . . . . . . 13 (metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ V
5553, 54opnzi 4933 . . . . . . . . . . . 12 ⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩ ≠ ∅
5655necomi 2845 . . . . . . . . . . 11 ∅ ≠ ⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩
57 nelsn 4203 . . . . . . . . . . 11 (∅ ≠ ⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩ → ¬ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ¬ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}
5952, 58pm3.2i 471 . . . . . . . . 9 (¬ ∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})
6028, 59pm3.2i 471 . . . . . . . 8 ((¬ ∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ (¬ ∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
61 ioran 511 . . . . . . . . 9 (¬ ((∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) ↔ (¬ (∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ ¬ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
62 ioran 511 . . . . . . . . . 10 (¬ (∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ↔ (¬ ∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}))
63 ioran 511 . . . . . . . . . 10 (¬ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) ↔ (¬ ∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
6462, 63anbi12i 732 . . . . . . . . 9 ((¬ (∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ ¬ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) ↔ ((¬ ∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ (¬ ∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
6561, 64bitri 264 . . . . . . . 8 (¬ ((∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) ↔ ((¬ ∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ (¬ ∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
6660, 65mpbir 221 . . . . . . 7 ¬ ((∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
67 df-cnfld 19728 . . . . . . . . 9 fld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
6867eleq2i 2691 . . . . . . . 8 (∅ ∈ ℂfld ↔ ∅ ∈ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
69 elun 3745 . . . . . . . 8 (∅ ∈ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) ↔ (∅ ∈ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ ∅ ∈ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
70 elun 3745 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ↔ (∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}))
71 elun 3745 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) ↔ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7270, 71orbi12i 543 . . . . . . . 8 ((∅ ∈ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ ∅ ∈ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) ↔ ((∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
7368, 69, 723bitri 286 . . . . . . 7 (∅ ∈ ℂfld ↔ ((∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
7466, 73mtbir 313 . . . . . 6 ¬ ∅ ∈ ℂfld
75 disjsn 4237 . . . . . 6 ((ℂfld ∩ {∅}) = ∅ ↔ ¬ ∅ ∈ ℂfld)
7674, 75mpbir 221 . . . . 5 (ℂfld ∩ {∅}) = ∅
77 disjdif2 4038 . . . . 5 ((ℂfld ∩ {∅}) = ∅ → (ℂfld ∖ {∅}) = ℂfld)
7876, 77ax-mp 5 . . . 4 (ℂfld ∖ {∅}) = ℂfld
7978funeqi 5897 . . 3 (Fun (ℂfld ∖ {∅}) ↔ Fun ℂfld)
802, 79sylib 208 . 2 (ℂfld Struct ⟨1, 13⟩ → Fun ℂfld)
811, 80ax-mp 5 1 Fun ℂfld
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wo 383  wa 384  w3o 1035  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  Vcvv 3195  cdif 3564  cun 3565  cin 3566  c0 3907  {csn 4168  {ctp 4172  cop 4174   class class class wbr 4644   × cxp 5102  ccom 5108  Fun wfun 5870  wf 5872  cfv 5876  cc 9919  cr 9920  1c1 9922   + caddc 9924   · cmul 9926  cle 10060  cmin 10251  3c3 11056  cdc 11478  ccj 13817  abscabs 13955   Struct cstr 15834  ndxcnx 15835  Basecbs 15838  +gcplusg 15922  .rcmulr 15923  *𝑟cstv 15924  TopSetcts 15928  lecple 15929  distcds 15931  UnifSetcunif 15932   TosetRel ctsr 17180  MetOpencmopn 19717  metUnifcmetu 19718  fldccnfld 19727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000  ax-mulf 10001
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-sup 8333  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-rp 11818  df-fz 12312  df-seq 12785  df-exp 12844  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-ps 17181  df-tsr 17182  df-cnfld 19728
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