MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldms Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfldms 22701
Description: The complex number field is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnfldms fld ∈ MetSp

Proof of Theorem cnfldms
StepHypRef Expression
1 cnmet 22697 . 2 (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
2 eqid 2724 . 2 (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
3 cnxmet 22698 . . . 4 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
42mopntopon 22366 . . . 4 ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ))
5 cnfldbas 19873 . . . . 5 ℂ = (Base‘ℂfld)
6 cnfldtset 19877 . . . . 5 (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (TopSet‘ℂfld)
75, 6topontopn 20867 . . . 4 ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ) → (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (TopOpen‘ℂfld))
83, 4, 7mp2b 10 . . 3 (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (TopOpen‘ℂfld)
9 absf 14197 . . . . . 6 abs:ℂ⟶ℝ
10 subf 10396 . . . . . 6 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
11 fco 6171 . . . . . 6 ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ)
129, 10, 11mp2an 710 . . . . 5 (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ
13 ffn 6158 . . . . 5 ((abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ → (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ))
14 fnresdm 6113 . . . . 5 ((abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − ))
1512, 13, 14mp2b 10 . . . 4 ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − )
16 cnfldds 19879 . . . . 5 (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
1716reseq1i 5499 . . . 4 ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = ((dist‘ℂfld) ↾ (ℂ × ℂ))
1815, 17eqtr3i 2748 . . 3 (abs ∘ − ) = ((dist‘ℂfld) ↾ (ℂ × ℂ))
198, 5, 18isms2 22377 . 2 (ℂfld ∈ MetSp ↔ ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) ∧ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))))
201, 2, 19mpbir2an 993 1 fld ∈ MetSp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1596  wcel 2103   × cxp 5216  cres 5220  ccom 5222   Fn wfn 5996  wf 5997  cfv 6001  cc 10047  cr 10048  cmin 10379  abscabs 14094  distcds 16073  TopOpenctopn 16205  ∞Metcxmt 19854  Metcme 19855  MetOpencmopn 19859  fldccnfld 19869  TopOnctopon 20838  MetSpcmt 22245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-sup 8464  df-inf 8465  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-fz 12441  df-seq 12917  df-exp 12976  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-rest 16206  df-topn 16207  df-topgen 16227  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864  df-mopn 19865  df-cnfld 19870  df-top 20822  df-topon 20839  df-topsp 20860  df-bases 20873  df-xms 22247  df-ms 22248
This theorem is referenced by:  cnfldxms  22702  cnfldtps  22703  cnngp  22705  cncms  23272  cnpwstotbnd  33828
  Copyright terms: Public domain W3C validator