MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfldmul 19519
Description: The multiplication operation of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
cnfldmul · = (.r‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldmul
StepHypRef Expression
1 mulex 11663 . 2 · ∈ V
2 cnfldstr 19515 . . 3 fld Struct ⟨1, 13⟩
3 mulrid 15768 . . 3 .r = Slot (.r‘ndx)
4 snsstp3 4288 . . . 4 {⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
5 ssun1 3737 . . . . 5 {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
6 ssun1 3737 . . . . . 6 ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7 df-cnfld 19514 . . . . . 6 fld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
86, 7sseqtr4i 3600 . . . . 5 ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ ℂfld
95, 8sstri 3576 . . . 4 {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ℂfld
104, 9sstri 3576 . . 3 {⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ℂfld
112, 3, 10strfv 15681 . 2 ( · ∈ V → · = (.r‘ℂfld))
121, 11ax-mp 5 1 · = (.r‘ℂfld)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3172  cun 3537  {csn 4124  {ctp 4128  cop 4130  ccom 5032  cfv 5790  cc 9790  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797  cle 9931  cmin 10117  3c3 10918  cdc 11325  ccj 13630  abscabs 13768  ndxcnx 15638  Basecbs 15641  +gcplusg 15714  .rcmulr 15715  *𝑟cstv 15716  TopSetcts 15720  lecple 15721  distcds 15723  UnifSetcunif 15724  MetOpencmopn 19503  metUnifcmetu 19504  fldccnfld 19513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-fz 12153  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-cnfld 19514
This theorem is referenced by:  cncrng  19532  cnfld1  19536  cndrng  19540  cnflddiv  19541  cnfldexp  19544  cnsrng  19545  cnsubrglem  19561  absabv  19568  cnsubrg  19571  cnmsubglem  19574  expmhm  19580  nn0srg  19581  rge0srg  19582  zringmulr  19592  expghm  19608  psgnghm  19690  psgnco  19693  evpmodpmf1o  19706  remulr  19721  mdetralt  20175  clmmul  22614  clmmcl  22624  isclmp  22636  cnlmod  22677  cnncvsmulassdemo  22696  cphsubrglem  22709  cphdivcl  22714  cphabscl  22717  cphsqrtcl2  22718  cphsqrtcl3  22719  ipcau2  22762  plypf1  23689  dvply2g  23761  taylply2  23843  reefgim  23925  efabl  24017  efsubm  24018  amgmlem  24433  amgm  24434  wilthlem2  24512  wilthlem3  24513  dchrelbas3  24680  dchrzrhmul  24688  dchrmulcl  24691  dchrn0  24692  dchrinvcl  24695  dchrsum2  24710  sum2dchr  24716  qabvexp  25032  ostthlem2  25034  padicabv  25036  ostth2lem2  25040  ostth3  25044  xrge0slmod  28981  iistmd  29082  xrge0iifmhm  29119  xrge0pluscn  29120  qqhrhm  29167  cnsrexpcl  36557  cnsrplycl  36559  rngunsnply  36565  amgm2d  37326  amgm3d  37327  amgm4d  37328  cnfldsrngmul  41563  aacllem  42319  amgmlemALT  42321  amgmw2d  42322
  Copyright terms: Public domain W3C validator