Theorem cnfldstr 20549

Description: The field of complex numbers is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldstr	⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩

Proof of Theorem cnfldstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cnfld 20548	. 2 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
2		eqid 2823	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
3	2	srngstr 16629	. . 3 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) Struct ⟨1, 4⟩
4		9nn 11738	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
5		tsetndx 16661	. . . . 5 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
6		9lt10 12232	. . . . 5 ⊢ 9 < ;10
7		10nn 12117	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℕ
8		plendx 16668	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
9		1nn0 11916	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10		0nn0 11915	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
11		2nn 11713	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
12		2pos 11743	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
13	9, 10, 11, 12	declt 12129	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;12
14	9, 11	decnncl 12121	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℕ
15		dsndx 16677	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
16	4, 5, 6, 7, 8, 13, 14, 15	strle3 16596	. . . 4 ⊢ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} Struct ⟨9, ;12⟩
17		3nn 11719	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
18	9, 17	decnncl 12121	. . . . 5 ⊢ ;13 ∈ ℕ
19		unifndx 16679	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
20	18, 19	strle1 16594	. . . 4 ⊢ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩} Struct ⟨;13, ;13⟩
21		2nn0 11917	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
22		2lt3 11812	. . . . 5 ⊢ 2 < 3
23	9, 21, 17, 22	declt 12129	. . . 4 ⊢ ;12 < ;13
24	16, 20, 23	strleun 16593	. . 3 ⊢ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) Struct ⟨9, ;13⟩
25		4lt9 11843	. . 3 ⊢ 4 < 9
26	3, 24, 25	strleun 16593	. 2 ⊢ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) Struct ⟨1, ;13⟩
27	1, 26	eqbrtri 5089	1 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩

Syntax hints:   ∪ cun 3936  {csn 4569  {ctp 4573  ⟨cop 4575   class class class wbr 5068   ∘ ccom 5561  ‘cfv 6357  ℂcc 10537  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542   · cmul 10544   ≤ cle 10678   − cmin 10872  2c2 11695  3c3 11696  4c4 11697  9c9 11702  ;cdc 12101  ∗ccj 14457  abscabs 14595   Struct cstr 16481  ndxcnx 16482  Basecbs 16485  +_gcplusg 16567  ._rcmulr 16568  *_𝑟cstv 16569  TopSetcts 16573  lecple 16574  distcds 16576  UnifSetcunif 16577  MetOpencmopn 20537  metUnifcmetu 20538  ℂ_fldccnfld 20547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-cnfld 20548

This theorem is referenced by:  cnfldex  20550  cnfldbas  20551  cnfldadd  20552  cnfldmul  20553  cnfldcj  20554  cnfldtset  20555  cnfldle  20556  cnfldds  20557  cnfldunif  20558  cnfldfunALT  20560  cffldtocusgr  27231