MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldtopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfldtopn 22495
Description: The topology of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnfldtopn.1 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
cnfldtopn 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))

Proof of Theorem cnfldtopn
StepHypRef Expression
1 cnfldtopn.1 . 2 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
2 cnxmet 22486 . . 3 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
3 eqid 2621 . . . 4 (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
43mopntopon 22154 . . 3 ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ))
5 cnfldbas 19669 . . . 4 ℂ = (Base‘ℂfld)
6 cnfldtset 19673 . . . 4 (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (TopSet‘ℂfld)
75, 6topontopn 20657 . . 3 ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ) → (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (TopOpen‘ℂfld))
82, 4, 7mp2b 10 . 2 (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (TopOpen‘ℂfld)
91, 8eqtr4i 2646 1 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480  wcel 1987  ccom 5078  cfv 5847  cc 9878  cmin 10210  abscabs 13908  TopOpenctopn 16003  ∞Metcxmt 19650  MetOpencmopn 19655  fldccnfld 19665  TopOnctopon 20618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-fz 12269  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-rest 16004  df-topn 16005  df-topgen 16025  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623
This theorem is referenced by:  cnfldhaus  22498  tgioo2  22514  recld2  22525  zdis  22527  reperflem  22529  addcnlem  22575  divcn  22579  dfii3  22594  cncfcn  22620  cnheibor  22662  cnllycmp  22663  ipcn  22953  lmclim  23009  cncmet  23027  recmet  23028  ellimc3  23549  dvlipcn  23661  lhop1lem  23680  ftc1lem6  23708  ulmdvlem3  24060  psercn  24084  pserdvlem2  24086  abelth  24099  dvlog2  24299  efopnlem2  24303  efopn  24304  logtayl  24306  cxpcn3  24389  rlimcnp  24592  xrlimcnp  24595  efrlim  24596  lgamucov  24664  ftalem3  24701  smcnlem  27398  hhcnf  28610  tpr2rico  29737  cnllysconn  30932  ftc1cnnc  33113  binomcxplemdvbinom  38031  binomcxplemnotnn0  38034  limcrecl  39262  islpcn  39272
  Copyright terms: Public domain W3C validator