Theorem cnfldtopn 23384

Description: The topology of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnfldtopn.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cnfldtopn	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))

Proof of Theorem cnfldtopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldtopn.1	. 2 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
2		cnxmet 23375	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
3		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
4	3	mopntopon 23043	. . 3 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ))
5		cnfldbas 20543	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
6		cnfldtset 20547	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (TopSet‘ℂfld)
7	5, 6	topontopn 21542	. . 3 ⊢ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ) → (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (TopOpen‘ℂfld))
8	2, 4, 7	mp2b 10	. 2 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (TopOpen‘ℂfld)
9	1, 8	eqtr4i 2847	1 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ∘ ccom 5554  ‘cfv 6350  ℂcc 10529   − cmin 10864  abscabs 14587  TopOpenctopn 16689  ∞Metcxmet 20524  MetOpencmopn 20529  ℂ_fldccnfld 20539  TopOnctopon 21512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-fz 12887  df-seq 13364  df-exp 13424  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-rest 16690  df-topn 16691  df-topgen 16711  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-cnfld 20540  df-top 21496  df-topon 21513  df-bases 21548

This theorem is referenced by:  cnfldhaus  23387  tgioo2  23405  recld2  23416  zdis  23418  reperflem  23420  addcnlem  23466  divcn  23470  dfii3  23485  cncfcn  23511  cnheibor  23553  cnllycmp  23554  ipcn  23843  lmclim  23900  cncmet  23919  recmet  23920  ellimc3  24471  dvlipcn  24585  lhop1lem  24604  ftc1lem6  24632  ulmdvlem3  24984  psercn  25008  pserdvlem2  25010  abelth  25023  dvlog2  25230  efopnlem2  25234  efopn  25235  logtayl  25237  cxpcn3  25323  rlimcnp  25537  xrlimcnp  25540  efrlim  25541  lgamucov  25609  ftalem3  25646  smcnlem  28468  hhcnf  29676  tpr2rico  31150  cnllysconn  32487  ftc1cnnc  34960  binomcxplemdvbinom  40678  binomcxplemnotnn0  40681  limcrecl  41902  islpcn  41912