Theorem cnfldtopon 23393

Description: The topology of the complex numbers is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnfldtopn.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cnfldtopon	⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

Proof of Theorem cnfldtopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldtps 23388	. 2 ⊢ ℂfld ∈ TopSp
2		cnfldbas 20551	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
3		cnfldtopn.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
4	2, 3	istps 21544	. 2 ⊢ (ℂfld ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
5	1, 4	mpbi 232	1 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6357  ℂcc 10537  TopOpenctopn 16697  ℂ_fldccnfld 20547  TopOnctopon 21520  TopSpctps 21542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-fz 12896  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-rest 16698  df-topn 16699  df-topgen 16719  df-psmet 20539  df-xmet 20540  df-met 20541  df-bl 20542  df-mopn 20543  df-cnfld 20548  df-top 21504  df-topon 21521  df-topsp 21543  df-bases 21556  df-xms 22932  df-ms 22933

This theorem is referenced by:  cnfldtop  23394  unicntop  23396  sszcld  23427  reperflem  23428  cnperf  23430  divcn  23478  fsumcn  23480  expcn  23482  divccn  23483  cncfcn1  23520  cncfmptc  23521  cncfmptid  23522  cncfmpt2f  23524  cdivcncf  23527  abscncfALT  23530  cncfcnvcn  23531  cnmptre  23533  iirevcn  23536  iihalf1cn  23538  iihalf2cn  23540  iimulcn  23544  icchmeo  23547  cnrehmeo  23559  cnheiborlem  23560  cnheibor  23561  cnllycmp  23562  evth  23565  evth2  23566  lebnumlem2  23568  reparphti  23603  pcoass  23630  mbfimaopnlem  24258  limcvallem  24471  ellimc2  24477  limcnlp  24478  limcflflem  24480  limcflf  24481  limcmo  24482  limcres  24486  cnplimc  24487  cnlimc  24488  limccnp  24491  limccnp2  24492  dvbss  24501  perfdvf  24503  recnperf  24505  dvreslem  24509  dvres2lem  24510  dvres3a  24514  dvidlem  24515  dvcnp2  24519  dvcn  24520  dvnres  24530  dvaddbr  24537  dvmulbr  24538  dvcmulf  24544  dvcobr  24545  dvcjbr  24548  dvrec  24554  dvmptid  24556  dvmptc  24557  dvmptres2  24561  dvmptcmul  24563  dvmptntr  24570  dvmptfsum  24574  dvcnvlem  24575  dvcnv  24576  dvexp3  24577  dveflem  24578  dvlipcn  24593  lhop1lem  24612  lhop2  24614  lhop  24615  dvcnvrelem2  24617  dvcnvre  24618  ftc1lem3  24637  ftc1cn  24642  plycn  24853  dvply1  24875  dvtaylp  24960  taylthlem1  24963  taylthlem2  24964  ulmdvlem3  24992  psercn2  25013  psercn  25016  pserdvlem2  25018  pserdv  25019  abelth  25031  pige3ALT  25107  logcn  25232  dvloglem  25233  dvlog  25236  dvlog2  25238  efopnlem2  25242  efopn  25243  logtayl  25245  dvcxp1  25323  cxpcn  25328  cxpcn2  25329  cxpcn3  25331  resqrtcn  25332  sqrtcn  25333  loglesqrt  25341  atansopn  25512  dvatan  25515  xrlimcnp  25548  efrlim  25549  lgamucov  25617  ftalem3  25654  vmcn  28478  dipcn  28499  ipasslem7  28615  ipasslem8  28616  occllem  29082  nlelchi  29840  tpr2rico  31157  rmulccn  31173  raddcn  31174  cxpcncf1  31868  cvxpconn  32491  cvxsconn  32492  cnllysconn  32494  sinccvglem  32917  ivthALT  33685  knoppcnlem10  33843  knoppcnlem11  33844  broucube  34928  dvtanlem  34943  dvtan  34944  ftc1cnnc  34968  dvasin  34980  dvacos  34981  dvreasin  34982  dvreacos  34983  areacirclem1  34984  areacirclem2  34985  areacirclem4  34987  refsumcn  41294  fprodcnlem  41887  fprodcn  41888  fsumcncf  42168  ioccncflimc  42175  cncfuni  42176  icocncflimc  42179  cncfdmsn  42180  cncfiooicclem1  42183  cxpcncf2  42190  fprodsub2cncf  42196  fprodadd2cncf  42197  dvmptconst  42206  dvmptidg  42208  dvresntr  42209  itgsubsticclem  42267  dirkercncflem2  42396  dirkercncflem4  42398  dirkercncf  42399  fourierdlem32  42431  fourierdlem33  42432  fourierdlem62  42460  fourierdlem93  42491  fourierdlem101  42499