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Theorem cnhaus 21063
Description: The preimage of a Hausdorff topology under an injective map is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnhaus ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Haus)

Proof of Theorem cnhaus
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑣 𝑢 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntop1 20949 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
213ad2ant3 1082 . 2 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Top)
3 simpl1 1062 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝐾 ∈ Haus)
4 simpl3 1064 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5 eqid 2626 . . . . . . . . 9 𝐽 = 𝐽
6 eqid 2626 . . . . . . . . 9 𝐾 = 𝐾
75, 6cnf 20955 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹: 𝐽 𝐾)
84, 7syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝐹: 𝐽 𝐾)
9 simprll 801 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝑥 𝐽)
108, 9ffvelrnd 6317 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾)
11 simprlr 802 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝑦 𝐽)
128, 11ffvelrnd 6317 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐾)
13 simprr 795 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝑥𝑦)
14 simpl2 1063 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝐹:𝑋1-1𝑌)
15 fdm 6010 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹: 𝐽 𝐾 → dom 𝐹 = 𝐽)
168, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → dom 𝐹 = 𝐽)
17 f1dm 6064 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑋1-1𝑌 → dom 𝐹 = 𝑋)
1814, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → dom 𝐹 = 𝑋)
1916, 18eqtr3d 2662 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝐽 = 𝑋)
209, 19eleqtrd 2706 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝑥𝑋)
2111, 19eleqtrd 2706 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝑦𝑋)
22 f1fveq 6474 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑋1-1𝑌 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
2314, 20, 21, 22syl12anc 1321 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
2423necon3bid 2840 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → ((𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦) ↔ 𝑥𝑦))
2513, 24mpbird 247 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦))
266hausnei 21037 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Haus ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝐾 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐾 ∧ (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦))) → ∃𝑢𝐾𝑣𝐾 ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))
273, 10, 12, 25, 26syl13anc 1325 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → ∃𝑢𝐾𝑣𝐾 ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))
28 simpll3 1100 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
29 simprll 801 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → 𝑢𝐾)
30 cnima 20974 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑢𝐾) → (𝐹𝑢) ∈ 𝐽)
3128, 29, 30syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → (𝐹𝑢) ∈ 𝐽)
32 simprlr 802 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → 𝑣𝐾)
33 cnima 20974 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑣𝐾) → (𝐹𝑣) ∈ 𝐽)
3428, 32, 33syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → (𝐹𝑣) ∈ 𝐽)
359adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → 𝑥 𝐽)
36 simprr1 1107 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑢)
378adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → 𝐹: 𝐽 𝐾)
38 ffn 6004 . . . . . . . . . . 11 (𝐹: 𝐽 𝐾𝐹 Fn 𝐽)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → 𝐹 Fn 𝐽)
40 elpreima 6294 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn 𝐽 → (𝑥 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑥 𝐽 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑢)))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → (𝑥 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑥 𝐽 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑢)))
4235, 36, 41mpbir2and 956 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → 𝑥 ∈ (𝐹𝑢))
4311adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → 𝑦 𝐽)
44 simprr2 1108 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑣)
45 elpreima 6294 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn 𝐽 → (𝑦 ∈ (𝐹𝑣) ↔ (𝑦 𝐽 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣)))
4639, 45syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → (𝑦 ∈ (𝐹𝑣) ↔ (𝑦 𝐽 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣)))
4743, 44, 46mpbir2and 956 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑣))
48 ffun 6007 . . . . . . . . . 10 (𝐹: 𝐽 𝐾 → Fun 𝐹)
49 inpreima 6299 . . . . . . . . . 10 (Fun 𝐹 → (𝐹 “ (𝑢𝑣)) = ((𝐹𝑢) ∩ (𝐹𝑣)))
5037, 48, 493syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → (𝐹 “ (𝑢𝑣)) = ((𝐹𝑢) ∩ (𝐹𝑣)))
51 simprr3 1109 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → (𝑢𝑣) = ∅)
5251imaeq2d 5429 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → (𝐹 “ (𝑢𝑣)) = (𝐹 “ ∅))
53 ima0 5444 . . . . . . . . . 10 (𝐹 “ ∅) = ∅
5452, 53syl6eq 2676 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → (𝐹 “ (𝑢𝑣)) = ∅)
5550, 54eqtr3d 2662 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → ((𝐹𝑢) ∩ (𝐹𝑣)) = ∅)
56 eleq2 2693 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝐹𝑢) → (𝑥𝑚𝑥 ∈ (𝐹𝑢)))
57 ineq1 3790 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝐹𝑢) → (𝑚𝑛) = ((𝐹𝑢) ∩ 𝑛))
5857eqeq1d 2628 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝐹𝑢) → ((𝑚𝑛) = ∅ ↔ ((𝐹𝑢) ∩ 𝑛) = ∅))
5956, 583anbi13d 1398 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝐹𝑢) → ((𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ (𝐹𝑢) ∧ 𝑦𝑛 ∧ ((𝐹𝑢) ∩ 𝑛) = ∅)))
60 eleq2 2693 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝐹𝑣) → (𝑦𝑛𝑦 ∈ (𝐹𝑣)))
61 ineq2 3791 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝐹𝑣) → ((𝐹𝑢) ∩ 𝑛) = ((𝐹𝑢) ∩ (𝐹𝑣)))
6261eqeq1d 2628 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝐹𝑣) → (((𝐹𝑢) ∩ 𝑛) = ∅ ↔ ((𝐹𝑢) ∩ (𝐹𝑣)) = ∅))
6360, 623anbi23d 1399 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝐹𝑣) → ((𝑥 ∈ (𝐹𝑢) ∧ 𝑦𝑛 ∧ ((𝐹𝑢) ∩ 𝑛) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ (𝐹𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹𝑣) ∧ ((𝐹𝑢) ∩ (𝐹𝑣)) = ∅)))
6459, 63rspc2ev 3313 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑢) ∈ 𝐽 ∧ (𝐹𝑣) ∈ 𝐽 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹𝑣) ∧ ((𝐹𝑢) ∩ (𝐹𝑣)) = ∅)) → ∃𝑚𝐽𝑛𝐽 (𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))
6531, 34, 42, 47, 55, 64syl113anc 1335 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → ∃𝑚𝐽𝑛𝐽 (𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))
6665expr 642 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ (𝑢𝐾𝑣𝐾)) → (((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅) → ∃𝑚𝐽𝑛𝐽 (𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅)))
6766rexlimdvva 3036 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → (∃𝑢𝐾𝑣𝐾 ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅) → ∃𝑚𝐽𝑛𝐽 (𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅)))
6827, 67mpd 15 . . . 4 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → ∃𝑚𝐽𝑛𝐽 (𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))
6968expr 642 . . 3 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (𝑥𝑦 → ∃𝑚𝐽𝑛𝐽 (𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅)))
7069ralrimivva 2970 . 2 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(𝑥𝑦 → ∃𝑚𝐽𝑛𝐽 (𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅)))
715ishaus 21031 . 2 (𝐽 ∈ Haus ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(𝑥𝑦 → ∃𝑚𝐽𝑛𝐽 (𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))))
722, 70, 71sylanbrc 697 1 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Haus)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  wral 2912  wrex 2913  cin 3559  c0 3896   cuni 4407  ccnv 5078  dom cdm 5079  cima 5082  Fun wfun 5844   Fn wfn 5845  wf 5846  1-1wf1 5847  cfv 5850  (class class class)co 6605  Topctop 20612   Cn ccn 20933  Hauscha 21017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fv 5858  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-map 7805  df-top 20616  df-topon 20618  df-cn 20936  df-haus 21024
This theorem is referenced by:  resthaus  21077  sshaus  21084  haushmph  21500
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