MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnima 20992
Description: An open subset of the codomain of a continuous function has an open preimage. (Contributed by FL, 15-Dec-2006.)
Assertion
Ref Expression
cnima ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝐾) → (𝐹𝐴) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem cnima
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
2 eqid 2621 . . . . 5 𝐾 = 𝐾
31, 2iscn2 20965 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹: 𝐽 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐾 (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
43simprbi 480 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐹: 𝐽 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐾 (𝐹𝑥) ∈ 𝐽))
54simprd 479 . 2 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → ∀𝑥𝐾 (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)
6 imaeq2 5426 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐴))
76eleq1d 2683 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹𝑥) ∈ 𝐽 ↔ (𝐹𝐴) ∈ 𝐽))
87rspccva 3297 . 2 ((∀𝑥𝐾 (𝐹𝑥) ∈ 𝐽𝐴𝐾) → (𝐹𝐴) ∈ 𝐽)
95, 8sylan 488 1 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝐾) → (𝐹𝐴) ∈ 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907   cuni 4407  ccnv 5078  cima 5082  wf 5848  (class class class)co 6610  Topctop 20630   Cn ccn 20951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-fv 5860  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-map 7811  df-top 20631  df-topon 20648  df-cn 20954
This theorem is referenced by:  cnco  20993  cnclima  20995  cnntri  20998  cnss1  21003  cnss2  21004  cncnpi  21005  cnrest  21012  cnt0  21073  cnhaus  21081  cncmp  21118  cnconn  21148  2ndcomap  21184  kgencn3  21284  txcnmpt  21350  txdis1cn  21361  pthaus  21364  ptrescn  21365  txkgen  21378  xkoco2cn  21384  xkococnlem  21385  txconn  21415  imasnopn  21416  qtopkgen  21436  qtopss  21441  isr0  21463  kqreglem1  21467  kqreglem2  21468  kqnrmlem1  21469  kqnrmlem2  21470  hmeoima  21491  hmeoopn  21492  hmeoimaf1o  21496  reghmph  21519  nrmhmph  21520  tmdgsum2  21823  symgtgp  21828  ghmcnp  21841  tgpt0  21845  qustgpopn  21846  qustgplem  21847  nmhmcn  22843  mbfimaopnlem  23345  cncombf  23348  cnmbf  23349  dvloglem  24311  efopnlem2  24320  efopn  24321  atansopn  24576  cnmbfm  30130  cvmsss2  30999  cvmliftmolem2  31007  cvmliftlem15  31023  cvmlift2lem9a  31028  cvmlift2lem9  31036  cvmlift2lem10  31037  cvmlift3lem6  31049  cvmlift3lem8  31051  dvtanlem  33126  rfcnpre1  38696  rfcnpre2  38708  icccncfext  39431
  Copyright terms: Public domain W3C validator