MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnima 21803
Description: An open subset of the codomain of a continuous function has an open preimage. (Contributed by FL, 15-Dec-2006.)
Assertion
Ref Expression
cnima ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝐾) → (𝐹𝐴) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem cnima
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2821 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
2 eqid 2821 . . . . 5 𝐾 = 𝐾
31, 2iscn2 21776 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹: 𝐽 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐾 (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
43simprbi 497 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐹: 𝐽 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐾 (𝐹𝑥) ∈ 𝐽))
54simprd 496 . 2 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → ∀𝑥𝐾 (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)
6 imaeq2 5919 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐴))
76eleq1d 2897 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹𝑥) ∈ 𝐽 ↔ (𝐹𝐴) ∈ 𝐽))
87rspccva 3621 . 2 ((∀𝑥𝐾 (𝐹𝑥) ∈ 𝐽𝐴𝐾) → (𝐹𝐴) ∈ 𝐽)
95, 8sylan 580 1 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝐾) → (𝐹𝐴) ∈ 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3138   cuni 4832  ccnv 5548  cima 5552  wf 6345  (class class class)co 7145  Topctop 21431   Cn ccn 21762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-fv 6357  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-map 8398  df-top 21432  df-topon 21449  df-cn 21765
This theorem is referenced by:  cnco  21804  cnclima  21806  cnntri  21809  cnss1  21814  cnss2  21815  cncnpi  21816  cnrest  21823  cnt0  21884  cnhaus  21892  cncmp  21930  cnconn  21960  2ndcomap  21996  kgencn3  22096  txcnmpt  22162  txdis1cn  22173  pthaus  22176  ptrescn  22177  txkgen  22190  xkoco2cn  22196  xkococnlem  22197  txconn  22227  imasnopn  22228  qtopkgen  22248  qtopss  22253  isr0  22275  kqreglem1  22279  kqreglem2  22280  kqnrmlem1  22281  kqnrmlem2  22282  hmeoima  22303  hmeoopn  22304  hmeoimaf1o  22308  reghmph  22331  nrmhmph  22332  tmdgsum2  22634  symgtgp  22639  ghmcnp  22652  tgpt0  22656  qustgpopn  22657  qustgplem  22658  nmhmcn  23653  mbfimaopnlem  24185  cncombf  24188  cnmbf  24189  dvloglem  25158  efopnlem2  25167  efopn  25168  atansopn  25437  cnmbfm  31421  cvmsss2  32419  cvmliftmolem2  32427  cvmliftlem15  32443  cvmlift2lem9a  32448  cvmlift2lem9  32456  cvmlift2lem10  32457  cvmlift3lem6  32469  cvmlift3lem8  32471  dvtanlem  34823  rfcnpre1  41156  rfcnpre2  41168  icccncfext  42050
  Copyright terms: Public domain W3C validator