MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnlimci Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnlimci 23647
Description: If 𝐹 is a continuous function, then the limit of the function at any point equals its value. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cnlimci.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn𝐷))
cnlimci.c (𝜑𝐵𝐴)
Assertion
Ref Expression
cnlimci (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))

Proof of Theorem cnlimci
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnlimci.c . 2 (𝜑𝐵𝐴)
2 cnlimci.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn𝐷))
3 cncfrss 22688 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐷) → 𝐴 ⊆ ℂ)
42, 3syl 17 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
5 cncfrss2 22689 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐷) → 𝐷 ⊆ ℂ)
62, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
7 ssid 3622 . . . . 5 ℂ ⊆ ℂ
8 cncfss 22696 . . . . 5 ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐴cn𝐷) ⊆ (𝐴cn→ℂ))
96, 7, 8sylancl 694 . . . 4 (𝜑 → (𝐴cn𝐷) ⊆ (𝐴cn→ℂ))
109, 2sseldd 3602 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ))
11 cnlimc 23646 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℂ → (𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ (𝐹 lim 𝑥))))
1211simplbda 654 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ (𝐹 lim 𝑥))
134, 10, 12syl2anc 693 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ (𝐹 lim 𝑥))
14 fveq2 6189 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐵))
15 oveq2 6655 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (𝐹 lim 𝑥) = (𝐹 lim 𝐵))
1614, 15eleq12d 2694 . . 3 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹𝑥) ∈ (𝐹 lim 𝑥) ↔ (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵)))
1716rspcv 3303 . 2 (𝐵𝐴 → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ (𝐹 lim 𝑥) → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵)))
181, 13, 17sylc 65 1 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1482  wcel 1989  wral 2911  wss 3572  wf 5882  cfv 5886  (class class class)co 6647  cc 9931  cnccncf 22673   lim climc 23620
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-pre-sup 10011
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-oadd 7561  df-er 7739  df-map 7856  df-pm 7857  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-fi 8314  df-sup 8345  df-inf 8346  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-4 11078  df-5 11079  df-6 11080  df-7 11081  df-8 11082  df-9 11083  df-n0 11290  df-z 11375  df-dec 11491  df-uz 11685  df-q 11786  df-rp 11830  df-xneg 11943  df-xadd 11944  df-xmul 11945  df-fz 12324  df-seq 12797  df-exp 12856  df-cj 13833  df-re 13834  df-im 13835  df-sqrt 13969  df-abs 13970  df-struct 15853  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-plusg 15948  df-mulr 15949  df-starv 15950  df-tset 15954  df-ple 15955  df-ds 15958  df-unif 15959  df-rest 16077  df-topn 16078  df-topgen 16098  df-psmet 19732  df-xmet 19733  df-met 19734  df-bl 19735  df-mopn 19736  df-cnfld 19741  df-top 20693  df-topon 20710  df-topsp 20731  df-bases 20744  df-cn 21025  df-cnp 21026  df-xms 22119  df-ms 22120  df-cncf 22675  df-limc 23624
This theorem is referenced by:  cnmptlimc  23648  dvcnvlem  23733  ioccncflimc  39867  icocncflimc  39871  dirkercncflem2  40090  fourierdlem84  40176  fourierdlem85  40177  fourierdlem88  40180  fourierdlem111  40203  fouriercn  40218
  Copyright terms: Public domain W3C validator