Theorem cnlnadjeui 28154

Description: Every continuous linear operator has a unique adjoint. Theorem 3.10 of [Beran] p. 104. (Contributed by NM, 18-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnlnadj.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp
cnlnadj.2	⊢ 𝑇 ∈ ConOp

Assertion

Ref	Expression
cnlnadjeui	⊢ ∃!𝑡 ∈ (LinOp ∩ ConOp)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝑡,𝑦,𝑇

Proof of Theorem cnlnadjeui

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnlnadj.1	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
2		cnlnadj.2	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ ConOp
3	1, 2	cnlnadji 28153	. 2 ⊢ ∃𝑡 ∈ (LinOp ∩ ConOp)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦))
4		adjmo 27909	. . 3 ⊢ ∃*𝑡(𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑡‘𝑥) ·ih 𝑦))
5		inss1 3794	. . . . . . . 8 ⊢ (LinOp ∩ ConOp) ⊆ LinOp
6	5	sseli 3563	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ (LinOp ∩ ConOp) → 𝑡 ∈ LinOp)
7		lnopf 27936	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ LinOp → 𝑡: ℋ⟶ ℋ)
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ (LinOp ∩ ConOp) → 𝑡: ℋ⟶ ℋ)
9		simpl 471	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦))) → 𝑡: ℋ⟶ ℋ)
10		eqcom 2616	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) ↔ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦))
11	10	2ralbii 2963	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦))
12	1	lnopfi 28046	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
13		adjsym 27910	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑡‘𝑥) ·ih 𝑦)))
14	12, 13	mpan2 702	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡: ℋ⟶ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑡‘𝑥) ·ih 𝑦)))
15	11, 14	syl5bb 270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡: ℋ⟶ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑡‘𝑥) ·ih 𝑦)))
16	15	biimpa 499	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦))) → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑡‘𝑥) ·ih 𝑦))
17	9, 16	jca 552	. . . . . 6 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦))) → (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑡‘𝑥) ·ih 𝑦)))
18	8, 17	sylan 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑡 ∈ (LinOp ∩ ConOp) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦))) → (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑡‘𝑥) ·ih 𝑦)))
19	18	moimi 2507	. . . 4 ⊢ (∃*𝑡(𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑡‘𝑥) ·ih 𝑦)) → ∃*𝑡(𝑡 ∈ (LinOp ∩ ConOp) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦))))
20		df-rmo 2903	. . . 4 ⊢ (∃*𝑡 ∈ (LinOp ∩ ConOp)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) ↔ ∃*𝑡(𝑡 ∈ (LinOp ∩ ConOp) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦))))
21	19, 20	sylibr 222	. . 3 ⊢ (∃*𝑡(𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑡‘𝑥) ·ih 𝑦)) → ∃*𝑡 ∈ (LinOp ∩ ConOp)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)))
22	4, 21	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∃*𝑡 ∈ (LinOp ∩ ConOp)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦))
23		reu5 3135	. 2 ⊢ (∃!𝑡 ∈ (LinOp ∩ ConOp)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) ↔ (∃𝑡 ∈ (LinOp ∩ ConOp)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) ∧ ∃*𝑡 ∈ (LinOp ∩ ConOp)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦))))
24	3, 22, 23	mpbir2an 956	1 ⊢ ∃!𝑡 ∈ (LinOp ∩ ConOp)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦))

Syntax hints:   ↔ wb 194   ∧ wa 382   = wceq 1474   ∈ wcel 1976  ∃*wmo 2458  ∀wral 2895  ∃wrex 2896  ∃!wreu 2897  ∃*wrmo 2898   ∩ cin 3538  ⟶wf 5786  ‘cfv 5790  (class class class)co 6527   ℋchil 26994   ·_ih csp 26997  ConOpccop 27021  LinOpclo 27022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cc 9118  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871  ax-addf 9872  ax-mulf 9873  ax-hilex 27074  ax-hfvadd 27075  ax-hvcom 27076  ax-hvass 27077  ax-hv0cl 27078  ax-hvaddid 27079  ax-hfvmul 27080  ax-hvmulid 27081  ax-hvmulass 27082  ax-hvdistr1 27083  ax-hvdistr2 27084  ax-hvmul0 27085  ax-hfi 27154  ax-his1 27157  ax-his2 27158  ax-his3 27159  ax-his4 27160  ax-hcompl 27277

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6773  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-supp 7161  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-2o 7426  df-oadd 7429  df-omul 7430  df-er 7607  df-map 7724  df-pm 7725  df-ixp 7773  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-fsupp 8137  df-fi 8178  df-sup 8209  df-inf 8210  df-oi 8276  df-card 8626  df-acn 8629  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-7 10934  df-8 10935  df-9 10936  df-n0 11143  df-z 11214  df-dec 11329  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-xneg 11781  df-xadd 11782  df-xmul 11783  df-ioo 12009  df-ico 12011  df-icc 12012  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-fl 12413  df-seq 12622  df-exp 12681  df-hash 12938  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-clim 14016  df-rlim 14017  df-sum 14214  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-ress 15651  df-plusg 15730  df-mulr 15731  df-starv 15732  df-sca 15733  df-vsca 15734  df-ip 15735  df-tset 15736  df-ple 15737  df-ds 15740  df-unif 15741  df-hom 15742  df-cco 15743  df-rest 15855  df-topn 15856  df-0g 15874  df-gsum 15875  df-topgen 15876  df-pt 15877  df-prds 15880  df-xrs 15934  df-qtop 15939  df-imas 15940  df-xps 15942  df-mre 16018  df-mrc 16019  df-acs 16021  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-submnd 17108  df-mulg 17313  df-cntz 17522  df-cmn 17967  df-psmet 19508  df-xmet 19509  df-met 19510  df-bl 19511  df-mopn 19512  df-fbas 19513  df-fg 19514  df-cnfld 19517  df-top 20469  df-bases 20470  df-topon 20471  df-topsp 20472  df-cld 20581  df-ntr 20582  df-cls 20583  df-nei 20660  df-cn 20789  df-cnp 20790  df-lm 20791  df-t1 20876  df-haus 20877  df-tx 21123  df-hmeo 21316  df-fil 21408  df-fm 21500  df-flim 21501  df-flf 21502  df-xms 21883  df-ms 21884  df-tms 21885  df-cfil 22806  df-cau 22807  df-cmet 22808  df-grpo 26525  df-gid 26526  df-ginv 26527  df-gdiv 26528  df-ablo 26580  df-vc 26595  df-nv 26643  df-va 26646  df-ba 26647  df-sm 26648  df-0v 26649  df-vs 26650  df-nmcv 26651  df-ims 26652  df-dip 26769  df-ssp 26793  df-ph 26886  df-cbn 26937  df-hnorm 27043  df-hba 27044  df-hvsub 27046  df-hlim 27047  df-hcau 27048  df-sh 27282  df-ch 27296  df-oc 27327  df-ch0 27328  df-nmop 27916  df-cnop 27917  df-lnop 27918  df-unop 27920  df-nmfn 27922  df-nlfn 27923  df-cnfn 27924  df-lnfn 27925

This theorem is referenced by:  cnlnadjeu  28155