HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cnlnssadj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnlnssadj 28809
Description: Every continuous linear Hilbert space operator has an adjoint. (Contributed by NM, 18-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
cnlnssadj (LinOp ∩ ContOp) ⊆ dom adj

Proof of Theorem cnlnssadj
Dummy variables 𝑢 𝑡 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnlnadj 28808 . . . . 5 (𝑦 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → ∃𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑦𝑥) ·ih 𝑧) = (𝑥 ·ih (𝑡𝑧)))
2 df-rex 2913 . . . . 5 (∃𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑦𝑥) ·ih 𝑧) = (𝑥 ·ih (𝑡𝑧)) ↔ ∃𝑡(𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑦𝑥) ·ih 𝑧) = (𝑥 ·ih (𝑡𝑧))))
31, 2sylib 208 . . . 4 (𝑦 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → ∃𝑡(𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑦𝑥) ·ih 𝑧) = (𝑥 ·ih (𝑡𝑧))))
4 inss1 3816 . . . . . . . . . 10 (LinOp ∩ ContOp) ⊆ LinOp
54sseli 3583 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → 𝑦 ∈ LinOp)
6 lnopf 28588 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ LinOp → 𝑦: ℋ⟶ ℋ)
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → 𝑦: ℋ⟶ ℋ)
87a1d 25 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → ((𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑦𝑥) ·ih 𝑧) = (𝑥 ·ih (𝑡𝑧))) → 𝑦: ℋ⟶ ℋ))
94sseli 3583 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → 𝑡 ∈ LinOp)
10 lnopf 28588 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ LinOp → 𝑡: ℋ⟶ ℋ)
119, 10syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → 𝑡: ℋ⟶ ℋ)
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → (𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → 𝑡: ℋ⟶ ℋ))
1312adantrd 484 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → ((𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑦𝑥) ·ih 𝑧) = (𝑥 ·ih (𝑡𝑧))) → 𝑡: ℋ⟶ ℋ))
14 eqcom 2628 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦𝑥) ·ih 𝑧) = (𝑥 ·ih (𝑡𝑧)) ↔ (𝑥 ·ih (𝑡𝑧)) = ((𝑦𝑥) ·ih 𝑧))
1514biimpi 206 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝑥) ·ih 𝑧) = (𝑥 ·ih (𝑡𝑧)) → (𝑥 ·ih (𝑡𝑧)) = ((𝑦𝑥) ·ih 𝑧))
16152ralimi 2948 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑦𝑥) ·ih 𝑧) = (𝑥 ·ih (𝑡𝑧)) → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡𝑧)) = ((𝑦𝑥) ·ih 𝑧))
17 adjsym 28562 . . . . . . . . . 10 ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡𝑧)) = ((𝑦𝑥) ·ih 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑦𝑧)) = ((𝑡𝑥) ·ih 𝑧)))
1811, 7, 17syl2anr 495 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ (LinOp ∩ ContOp) ∧ 𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp)) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡𝑧)) = ((𝑦𝑥) ·ih 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑦𝑧)) = ((𝑡𝑥) ·ih 𝑧)))
1916, 18syl5ib 234 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (LinOp ∩ ContOp) ∧ 𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp)) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑦𝑥) ·ih 𝑧) = (𝑥 ·ih (𝑡𝑧)) → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑦𝑧)) = ((𝑡𝑥) ·ih 𝑧)))
2019expimpd 628 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → ((𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑦𝑥) ·ih 𝑧) = (𝑥 ·ih (𝑡𝑧))) → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑦𝑧)) = ((𝑡𝑥) ·ih 𝑧)))
218, 13, 203jcad 1241 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → ((𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑦𝑥) ·ih 𝑧) = (𝑥 ·ih (𝑡𝑧))) → (𝑦: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑦𝑧)) = ((𝑡𝑥) ·ih 𝑧))))
22 dfadj2 28614 . . . . . . . 8 adj = {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ (𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑣: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑢𝑧)) = ((𝑣𝑥) ·ih 𝑧))}
2322eleq2i 2690 . . . . . . 7 (⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ adj ↔ ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ (𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑣: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑢𝑧)) = ((𝑣𝑥) ·ih 𝑧))})
24 vex 3192 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
25 vex 3192 . . . . . . . 8 𝑡 ∈ V
26 feq1 5988 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑦 → (𝑢: ℋ⟶ ℋ ↔ 𝑦: ℋ⟶ ℋ))
27 fveq1 6152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑦 → (𝑢𝑧) = (𝑦𝑧))
2827oveq2d 6626 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑦 → (𝑥 ·ih (𝑢𝑧)) = (𝑥 ·ih (𝑦𝑧)))
2928eqeq1d 2623 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = 𝑦 → ((𝑥 ·ih (𝑢𝑧)) = ((𝑣𝑥) ·ih 𝑧) ↔ (𝑥 ·ih (𝑦𝑧)) = ((𝑣𝑥) ·ih 𝑧)))
30292ralbidv 2984 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑦 → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑢𝑧)) = ((𝑣𝑥) ·ih 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑦𝑧)) = ((𝑣𝑥) ·ih 𝑧)))
3126, 303anbi13d 1398 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑦 → ((𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑣: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑢𝑧)) = ((𝑣𝑥) ·ih 𝑧)) ↔ (𝑦: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑣: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑦𝑧)) = ((𝑣𝑥) ·ih 𝑧))))
32 feq1 5988 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑡 → (𝑣: ℋ⟶ ℋ ↔ 𝑡: ℋ⟶ ℋ))
33 fveq1 6152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝑡 → (𝑣𝑥) = (𝑡𝑥))
3433oveq1d 6625 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑡 → ((𝑣𝑥) ·ih 𝑧) = ((𝑡𝑥) ·ih 𝑧))
3534eqeq2d 2631 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑡 → ((𝑥 ·ih (𝑦𝑧)) = ((𝑣𝑥) ·ih 𝑧) ↔ (𝑥 ·ih (𝑦𝑧)) = ((𝑡𝑥) ·ih 𝑧)))
36352ralbidv 2984 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑡 → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑦𝑧)) = ((𝑣𝑥) ·ih 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑦𝑧)) = ((𝑡𝑥) ·ih 𝑧)))
3732, 363anbi23d 1399 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑡 → ((𝑦: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑣: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑦𝑧)) = ((𝑣𝑥) ·ih 𝑧)) ↔ (𝑦: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑦𝑧)) = ((𝑡𝑥) ·ih 𝑧))))
3824, 25, 31, 37opelopab 4962 . . . . . . 7 (⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ (𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑣: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑢𝑧)) = ((𝑣𝑥) ·ih 𝑧))} ↔ (𝑦: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑦𝑧)) = ((𝑡𝑥) ·ih 𝑧)))
3923, 38bitr2i 265 . . . . . 6 ((𝑦: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑦𝑧)) = ((𝑡𝑥) ·ih 𝑧)) ↔ ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ adj)
4021, 39syl6ib 241 . . . . 5 (𝑦 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → ((𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑦𝑥) ·ih 𝑧) = (𝑥 ·ih (𝑡𝑧))) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ adj))
4140eximdv 1843 . . . 4 (𝑦 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → (∃𝑡(𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑦𝑥) ·ih 𝑧) = (𝑥 ·ih (𝑡𝑧))) → ∃𝑡𝑦, 𝑡⟩ ∈ adj))
423, 41mpd 15 . . 3 (𝑦 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → ∃𝑡𝑦, 𝑡⟩ ∈ adj)
4324eldm2 5287 . . 3 (𝑦 ∈ dom adj ↔ ∃𝑡𝑦, 𝑡⟩ ∈ adj)
4442, 43sylibr 224 . 2 (𝑦 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → 𝑦 ∈ dom adj)
4544ssriv 3591 1 (LinOp ∩ ContOp) ⊆ dom adj
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  cin 3558  wss 3559  cop 4159  {copab 4677  dom cdm 5079  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  chil 27646   ·ih csp 27649  ContOpccop 27673  LinOpclo 27674  adjcado 27682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cc 9209  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966  ax-addf 9967  ax-mulf 9968  ax-hilex 27726  ax-hfvadd 27727  ax-hvcom 27728  ax-hvass 27729  ax-hv0cl 27730  ax-hvaddid 27731  ax-hfvmul 27732  ax-hvmulid 27733  ax-hvmulass 27734  ax-hvdistr1 27735  ax-hvdistr2 27736  ax-hvmul0 27737  ax-hfi 27806  ax-his1 27809  ax-his2 27810  ax-his3 27811  ax-his4 27812  ax-hcompl 27929
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-omul 7517  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7861  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-fi 8269  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-acn 8720  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-xneg 11898  df-xadd 11899  df-xmul 11900  df-ioo 12129  df-ico 12131  df-icc 12132  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-fl 12541  df-seq 12750  df-exp 12809  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-clim 14161  df-rlim 14162  df-sum 14359  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-ip 15891  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-hom 15898  df-cco 15899  df-rest 16015  df-topn 16016  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-topgen 16036  df-pt 16037  df-prds 16040  df-xrs 16094  df-qtop 16099  df-imas 16100  df-xps 16102  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-acs 16181  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-submnd 17268  df-mulg 17473  df-cntz 17682  df-cmn 18127  df-psmet 19670  df-xmet 19671  df-met 19672  df-bl 19673  df-mopn 19674  df-fbas 19675  df-fg 19676  df-cnfld 19679  df-top 20631  df-topon 20648  df-topsp 20661  df-bases 20674  df-cld 20746  df-ntr 20747  df-cls 20748  df-nei 20825  df-cn 20954  df-cnp 20955  df-lm 20956  df-t1 21041  df-haus 21042  df-tx 21288  df-hmeo 21481  df-fil 21573  df-fm 21665  df-flim 21666  df-flf 21667  df-xms 22048  df-ms 22049  df-tms 22050  df-cfil 22976  df-cau 22977  df-cmet 22978  df-grpo 27217  df-gid 27218  df-ginv 27219  df-gdiv 27220  df-ablo 27269  df-vc 27284  df-nv 27317  df-va 27320  df-ba 27321  df-sm 27322  df-0v 27323  df-vs 27324  df-nmcv 27325  df-ims 27326  df-dip 27426  df-ssp 27447  df-ph 27538  df-cbn 27589  df-hnorm 27695  df-hba 27696  df-hvsub 27698  df-hlim 27699  df-hcau 27700  df-sh 27934  df-ch 27948  df-oc 27979  df-ch0 27980  df-shs 28037  df-pjh 28124  df-h0op 28477  df-nmop 28568  df-cnop 28569  df-lnop 28570  df-unop 28572  df-hmop 28573  df-nmfn 28574  df-nlfn 28575  df-cnfn 28576  df-lnfn 28577  df-adjh 28578
This theorem is referenced by:  bdopssadj  28810
  Copyright terms: Public domain W3C validator