HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cnlnssadj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnlnssadj 29784
Description: Every continuous linear Hilbert space operator has an adjoint. (Contributed by NM, 18-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
cnlnssadj (LinOp ∩ ContOp) ⊆ dom adj

Proof of Theorem cnlnssadj
Dummy variables 𝑢 𝑡 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnlnadj 29783 . . . . 5 (𝑦 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → ∃𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑦𝑥) ·ih 𝑧) = (𝑥 ·ih (𝑡𝑧)))
2 df-rex 3141 . . . . 5 (∃𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp)∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑦𝑥) ·ih 𝑧) = (𝑥 ·ih (𝑡𝑧)) ↔ ∃𝑡(𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑦𝑥) ·ih 𝑧) = (𝑥 ·ih (𝑡𝑧))))
31, 2sylib 219 . . . 4 (𝑦 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → ∃𝑡(𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑦𝑥) ·ih 𝑧) = (𝑥 ·ih (𝑡𝑧))))
4 inss1 4202 . . . . . . . . . 10 (LinOp ∩ ContOp) ⊆ LinOp
54sseli 3960 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → 𝑦 ∈ LinOp)
6 lnopf 29563 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ LinOp → 𝑦: ℋ⟶ ℋ)
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → 𝑦: ℋ⟶ ℋ)
87a1d 25 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → ((𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑦𝑥) ·ih 𝑧) = (𝑥 ·ih (𝑡𝑧))) → 𝑦: ℋ⟶ ℋ))
94sseli 3960 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → 𝑡 ∈ LinOp)
10 lnopf 29563 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ LinOp → 𝑡: ℋ⟶ ℋ)
119, 10syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → 𝑡: ℋ⟶ ℋ)
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → (𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → 𝑡: ℋ⟶ ℋ))
1312adantrd 492 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → ((𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑦𝑥) ·ih 𝑧) = (𝑥 ·ih (𝑡𝑧))) → 𝑡: ℋ⟶ ℋ))
14 eqcom 2825 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦𝑥) ·ih 𝑧) = (𝑥 ·ih (𝑡𝑧)) ↔ (𝑥 ·ih (𝑡𝑧)) = ((𝑦𝑥) ·ih 𝑧))
1514biimpi 217 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝑥) ·ih 𝑧) = (𝑥 ·ih (𝑡𝑧)) → (𝑥 ·ih (𝑡𝑧)) = ((𝑦𝑥) ·ih 𝑧))
16152ralimi 3158 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑦𝑥) ·ih 𝑧) = (𝑥 ·ih (𝑡𝑧)) → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡𝑧)) = ((𝑦𝑥) ·ih 𝑧))
17 adjsym 29537 . . . . . . . . . 10 ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡𝑧)) = ((𝑦𝑥) ·ih 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑦𝑧)) = ((𝑡𝑥) ·ih 𝑧)))
1811, 7, 17syl2anr 596 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ (LinOp ∩ ContOp) ∧ 𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp)) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡𝑧)) = ((𝑦𝑥) ·ih 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑦𝑧)) = ((𝑡𝑥) ·ih 𝑧)))
1916, 18syl5ib 245 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (LinOp ∩ ContOp) ∧ 𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp)) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑦𝑥) ·ih 𝑧) = (𝑥 ·ih (𝑡𝑧)) → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑦𝑧)) = ((𝑡𝑥) ·ih 𝑧)))
2019expimpd 454 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → ((𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑦𝑥) ·ih 𝑧) = (𝑥 ·ih (𝑡𝑧))) → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑦𝑧)) = ((𝑡𝑥) ·ih 𝑧)))
218, 13, 203jcad 1121 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → ((𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑦𝑥) ·ih 𝑧) = (𝑥 ·ih (𝑡𝑧))) → (𝑦: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑦𝑧)) = ((𝑡𝑥) ·ih 𝑧))))
22 dfadj2 29589 . . . . . . . 8 adj = {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ (𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑣: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑢𝑧)) = ((𝑣𝑥) ·ih 𝑧))}
2322eleq2i 2901 . . . . . . 7 (⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ adj ↔ ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ (𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑣: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑢𝑧)) = ((𝑣𝑥) ·ih 𝑧))})
24 vex 3495 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
25 vex 3495 . . . . . . . 8 𝑡 ∈ V
26 feq1 6488 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑦 → (𝑢: ℋ⟶ ℋ ↔ 𝑦: ℋ⟶ ℋ))
27 fveq1 6662 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑦 → (𝑢𝑧) = (𝑦𝑧))
2827oveq2d 7161 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑦 → (𝑥 ·ih (𝑢𝑧)) = (𝑥 ·ih (𝑦𝑧)))
2928eqeq1d 2820 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = 𝑦 → ((𝑥 ·ih (𝑢𝑧)) = ((𝑣𝑥) ·ih 𝑧) ↔ (𝑥 ·ih (𝑦𝑧)) = ((𝑣𝑥) ·ih 𝑧)))
30292ralbidv 3196 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑦 → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑢𝑧)) = ((𝑣𝑥) ·ih 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑦𝑧)) = ((𝑣𝑥) ·ih 𝑧)))
3126, 303anbi13d 1429 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑦 → ((𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑣: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑢𝑧)) = ((𝑣𝑥) ·ih 𝑧)) ↔ (𝑦: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑣: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑦𝑧)) = ((𝑣𝑥) ·ih 𝑧))))
32 feq1 6488 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑡 → (𝑣: ℋ⟶ ℋ ↔ 𝑡: ℋ⟶ ℋ))
33 fveq1 6662 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝑡 → (𝑣𝑥) = (𝑡𝑥))
3433oveq1d 7160 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑡 → ((𝑣𝑥) ·ih 𝑧) = ((𝑡𝑥) ·ih 𝑧))
3534eqeq2d 2829 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑡 → ((𝑥 ·ih (𝑦𝑧)) = ((𝑣𝑥) ·ih 𝑧) ↔ (𝑥 ·ih (𝑦𝑧)) = ((𝑡𝑥) ·ih 𝑧)))
36352ralbidv 3196 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑡 → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑦𝑧)) = ((𝑣𝑥) ·ih 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑦𝑧)) = ((𝑡𝑥) ·ih 𝑧)))
3732, 363anbi23d 1430 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑡 → ((𝑦: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑣: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑦𝑧)) = ((𝑣𝑥) ·ih 𝑧)) ↔ (𝑦: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑦𝑧)) = ((𝑡𝑥) ·ih 𝑧))))
3824, 25, 31, 37opelopab 5420 . . . . . . 7 (⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ (𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑣: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑢𝑧)) = ((𝑣𝑥) ·ih 𝑧))} ↔ (𝑦: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑦𝑧)) = ((𝑡𝑥) ·ih 𝑧)))
3923, 38bitr2i 277 . . . . . 6 ((𝑦: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑦𝑧)) = ((𝑡𝑥) ·ih 𝑧)) ↔ ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ adj)
4021, 39syl6ib 252 . . . . 5 (𝑦 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → ((𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑦𝑥) ·ih 𝑧) = (𝑥 ·ih (𝑡𝑧))) → ⟨𝑦, 𝑡⟩ ∈ adj))
4140eximdv 1909 . . . 4 (𝑦 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → (∃𝑡(𝑡 ∈ (LinOp ∩ ContOp) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑦𝑥) ·ih 𝑧) = (𝑥 ·ih (𝑡𝑧))) → ∃𝑡𝑦, 𝑡⟩ ∈ adj))
423, 41mpd 15 . . 3 (𝑦 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → ∃𝑡𝑦, 𝑡⟩ ∈ adj)
4324eldm2 5763 . . 3 (𝑦 ∈ dom adj ↔ ∃𝑡𝑦, 𝑡⟩ ∈ adj)
4442, 43sylibr 235 . 2 (𝑦 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → 𝑦 ∈ dom adj)
4544ssriv 3968 1 (LinOp ∩ ContOp) ⊆ dom adj
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  cin 3932  wss 3933  cop 4563  {copab 5119  dom cdm 5548  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  chba 28623   ·ih csp 28626  ContOpccop 28650  LinOpclo 28651  adjcado 28659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cc 9845  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605  ax-hilex 28703  ax-hfvadd 28704  ax-hvcom 28705  ax-hvass 28706  ax-hv0cl 28707  ax-hvaddid 28708  ax-hfvmul 28709  ax-hvmulid 28710  ax-hvmulass 28711  ax-hvdistr1 28712  ax-hvdistr2 28713  ax-hvmul0 28714  ax-hfi 28783  ax-his1 28786  ax-his2 28787  ax-his3 28788  ax-his4 28789  ax-hcompl 28906
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-lm 21765  df-t1 21850  df-haus 21851  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cfil 23785  df-cau 23786  df-cmet 23787  df-grpo 28197  df-gid 28198  df-ginv 28199  df-gdiv 28200  df-ablo 28249  df-vc 28263  df-nv 28296  df-va 28299  df-ba 28300  df-sm 28301  df-0v 28302  df-vs 28303  df-nmcv 28304  df-ims 28305  df-dip 28405  df-ssp 28426  df-ph 28517  df-cbn 28567  df-hnorm 28672  df-hba 28673  df-hvsub 28675  df-hlim 28676  df-hcau 28677  df-sh 28911  df-ch 28925  df-oc 28956  df-ch0 28957  df-shs 29012  df-pjh 29099  df-h0op 29452  df-nmop 29543  df-cnop 29544  df-lnop 29545  df-unop 29547  df-hmop 29548  df-nmfn 29549  df-nlfn 29550  df-cnfn 29551  df-lnfn 29552  df-adjh 29553
This theorem is referenced by:  bdopssadj  29785
  Copyright terms: Public domain W3C validator