MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmbf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmbf 23366
Description: A continuous function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnmbf ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) → 𝐹 ∈ MblFn)

Proof of Theorem cnmbf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncff 22636 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2 mblss 23239 . . 3 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
3 cnex 9977 . . . 4 ℂ ∈ V
4 reex 9987 . . . 4 ℝ ∈ V
5 elpm2r 7835 . . . 4 (((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
63, 4, 5mpanl12 717 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
71, 2, 6syl2anr 495 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
8 simpll 789 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝐴 ∈ dom vol)
9 simplr 791 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ))
10 recncf 22645 . . . . . . . . 9 ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
1110a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ))
129, 11cncfco 22650 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (ℜ ∘ 𝐹) ∈ (𝐴cn→ℝ))
132ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
14 ax-resscn 9953 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
1513, 14syl6ss 3600 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
16 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
17 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴)
1816tgioo2 22546 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
1916, 17, 18cncfcn 22652 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝐴cn→ℝ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))))
2015, 14, 19sylancl 693 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (𝐴cn→ℝ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))))
21 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
2216, 21rerest 22547 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
2313, 22syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
2423oveq1d 6630 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))) = (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))))
2520, 24eqtrd 2655 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (𝐴cn→ℝ) = (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))))
2612, 25eleqtrd 2700 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (ℜ ∘ 𝐹) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))))
27 retopbas 22504 . . . . . . . 8 ran (,) ∈ TopBases
28 bastg 20710 . . . . . . . 8 (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . 7 ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
30 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝑥 ∈ ran (,))
3129, 30sseldi 3586 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)))
32 cnima 21009 . . . . . 6 (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))) → ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
3326, 31, 32syl2anc 692 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
34 eqid 2621 . . . . . 6 ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)
3534subopnmbl 23312 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)) → ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
368, 33, 35syl2anc 692 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
37 imcncf 22646 . . . . . . . . 9 ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
3837a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ))
399, 38cncfco 22650 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (ℑ ∘ 𝐹) ∈ (𝐴cn→ℝ))
4039, 25eleqtrd 2700 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (ℑ ∘ 𝐹) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))))
41 cnima 21009 . . . . . 6 (((ℑ ∘ 𝐹) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))) → ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
4240, 31, 41syl2anc 692 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
4334subopnmbl 23312 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)) → ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
448, 42, 43syl2anc 692 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
4536, 44jca 554 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
4645ralrimiva 2962 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) → ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
47 ismbf1 23333 . 2 (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
487, 46, 47sylanbrc 697 1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) → 𝐹 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2908  Vcvv 3190  wss 3560  ccnv 5083  dom cdm 5084  ran crn 5085  cima 5087  ccom 5088  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615  pm cpm 7818  cc 9894  cr 9895  (,)cioo 12133  cre 13787  cim 13788  t crest 16021  TopOpenctopn 16022  topGenctg 16038  fldccnfld 19686  TopBasesctb 20689   Cn ccn 20968  cnccncf 22619  volcvol 23172  MblFncmbf 23323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-disj 4594  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-omul 7525  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fi 8277  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-acn 8728  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-ioo 12137  df-ico 12139  df-icc 12140  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-clim 14169  df-rlim 14170  df-sum 14367  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-rest 16023  df-topn 16024  df-topgen 16044  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-cnfld 19687  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-cn 20971  df-cnp 20972  df-cmp 21130  df-xms 22065  df-ms 22066  df-cncf 22621  df-ovol 23173  df-vol 23174  df-mbf 23328
This theorem is referenced by:  cniccibl  23547  ftc2re  30492  cnicciblnc  33152  ftc1cnnclem  33154  ftc2nc  33165  cnioobibld  37319  cnbdibl  39515  fourierdlem16  39677  fourierdlem21  39682  fourierdlem22  39683  fourierdlem83  39743
  Copyright terms: Public domain W3C validator