MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmbf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmbf 23146
Description: A continuous function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnmbf ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) → 𝐹 ∈ MblFn)

Proof of Theorem cnmbf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncff 22432 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2 mblss 23020 . . 3 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
3 cnex 9870 . . . 4 ℂ ∈ V
4 reex 9880 . . . 4 ℝ ∈ V
5 elpm2r 7735 . . . 4 (((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
63, 4, 5mpanl12 713 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
71, 2, 6syl2anr 493 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
8 simpll 785 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝐴 ∈ dom vol)
9 simplr 787 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ))
10 recncf 22441 . . . . . . . . 9 ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
1110a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ))
129, 11cncfco 22446 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (ℜ ∘ 𝐹) ∈ (𝐴cn→ℝ))
132ad2antrr 757 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
14 ax-resscn 9846 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
1513, 14syl6ss 3576 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
16 eqid 2606 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
17 eqid 2606 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴)
1816tgioo2 22343 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
1916, 17, 18cncfcn 22448 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝐴cn→ℝ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))))
2015, 14, 19sylancl 692 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (𝐴cn→ℝ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))))
21 eqid 2606 . . . . . . . . . . 11 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
2216, 21rerest 22344 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
2313, 22syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
2423oveq1d 6539 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))) = (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))))
2520, 24eqtrd 2640 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (𝐴cn→ℝ) = (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))))
2612, 25eleqtrd 2686 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (ℜ ∘ 𝐹) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))))
27 retopbas 22303 . . . . . . . 8 ran (,) ∈ TopBases
28 bastg 20520 . . . . . . . 8 (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . 7 ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
30 simpr 475 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝑥 ∈ ran (,))
3129, 30sseldi 3562 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)))
32 cnima 20818 . . . . . 6 (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))) → ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
3326, 31, 32syl2anc 690 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
34 eqid 2606 . . . . . 6 ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)
3534subopnmbl 23092 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)) → ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
368, 33, 35syl2anc 690 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
37 imcncf 22442 . . . . . . . . 9 ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
3837a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ))
399, 38cncfco 22446 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (ℑ ∘ 𝐹) ∈ (𝐴cn→ℝ))
4039, 25eleqtrd 2686 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (ℑ ∘ 𝐹) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))))
41 cnima 20818 . . . . . 6 (((ℑ ∘ 𝐹) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))) → ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
4240, 31, 41syl2anc 690 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
4334subopnmbl 23092 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)) → ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
448, 42, 43syl2anc 690 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
4536, 44jca 552 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
4645ralrimiva 2945 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) → ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
47 ismbf1 23113 . 2 (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
487, 46, 47sylanbrc 694 1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) → 𝐹 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2892  Vcvv 3169  wss 3536  ccnv 5024  dom cdm 5025  ran crn 5026  cima 5028  ccom 5029  wf 5783  cfv 5787  (class class class)co 6524  pm cpm 7719  cc 9787  cr 9788  (,)cioo 11999  cre 13628  cim 13629  t crest 15847  TopOpenctopn 15848  topGenctg 15864  fldccnfld 19510  TopBasesctb 20459   Cn ccn 20777  cnccncf 22415  volcvol 22953  MblFncmbf 23103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-inf2 8395  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-pre-sup 9867
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-disj 4545  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-se 4985  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-isom 5796  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-of 6769  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-2o 7422  df-oadd 7425  df-omul 7426  df-er 7603  df-map 7720  df-pm 7721  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-fi 8174  df-sup 8205  df-inf 8206  df-oi 8272  df-card 8622  df-acn 8625  df-cda 8847  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-4 10925  df-5 10926  df-6 10927  df-7 10928  df-8 10929  df-9 10930  df-n0 11137  df-z 11208  df-dec 11323  df-uz 11517  df-q 11618  df-rp 11662  df-xneg 11775  df-xadd 11776  df-xmul 11777  df-ioo 12003  df-ico 12005  df-icc 12006  df-fz 12150  df-fzo 12287  df-fl 12407  df-seq 12616  df-exp 12675  df-hash 12932  df-cj 13630  df-re 13631  df-im 13632  df-sqrt 13766  df-abs 13767  df-clim 14010  df-rlim 14011  df-sum 14208  df-struct 15640  df-ndx 15641  df-slot 15642  df-base 15643  df-plusg 15724  df-mulr 15725  df-starv 15726  df-tset 15730  df-ple 15731  df-ds 15734  df-unif 15735  df-rest 15849  df-topn 15850  df-topgen 15870  df-psmet 19502  df-xmet 19503  df-met 19504  df-bl 19505  df-mopn 19506  df-cnfld 19511  df-top 20460  df-bases 20461  df-topon 20462  df-topsp 20463  df-cn 20780  df-cnp 20781  df-cmp 20939  df-xms 21873  df-ms 21874  df-cncf 22417  df-ovol 22954  df-vol 22955  df-mbf 23108
This theorem is referenced by:  cniccibl  23327  cnicciblnc  32451  ftc1cnnclem  32453  ftc2nc  32464  cnioobibld  36618  cnbdibl  38655  fourierdlem16  38817  fourierdlem21  38822  fourierdlem22  38823  fourierdlem83  38883
  Copyright terms: Public domain W3C validator