MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmet 22556
Description: The absolute value metric determines a metric space on the complex numbers. This theorem provides a link between complex numbers and metrics spaces, making metric space theorems available for use with complex numbers. (Contributed by FL, 9-Oct-2006.)
Assertion
Ref Expression
cnmet (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)

Proof of Theorem cnmet
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 10002 . 2 ℂ ∈ V
2 absf 14058 . . 3 abs:ℂ⟶ℝ
3 subf 10268 . . 3 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
4 fco 6045 . . 3 ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ)
52, 3, 4mp2an 707 . 2 (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ
6 subcl 10265 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝑦) ∈ ℂ)
76abs00ad 14011 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑥𝑦)) = 0 ↔ (𝑥𝑦) = 0))
8 eqid 2620 . . . . . 6 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
98cnmetdval 22555 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑥𝑦)))
109eqcomd 2626 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥𝑦)) = (𝑥(abs ∘ − )𝑦))
1110eqeq1d 2622 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑥𝑦)) = 0 ↔ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = 0))
12 subeq0 10292 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
137, 11, 123bitr3d 298 . 2 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥(abs ∘ − )𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
14 abs3dif 14052 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥𝑦)) ≤ ((abs‘(𝑥𝑧)) + (abs‘(𝑧𝑦))))
15 abssub 14047 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥𝑧)) = (abs‘(𝑧𝑥)))
1615oveq1d 6650 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑥𝑧)) + (abs‘(𝑧𝑦))) = ((abs‘(𝑧𝑥)) + (abs‘(𝑧𝑦))))
17163adant2 1078 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑥𝑧)) + (abs‘(𝑧𝑦))) = ((abs‘(𝑧𝑥)) + (abs‘(𝑧𝑦))))
1814, 17breqtrd 4670 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥𝑦)) ≤ ((abs‘(𝑧𝑥)) + (abs‘(𝑧𝑦))))
1993adant3 1079 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑥𝑦)))
208cnmetdval 22555 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(𝑧𝑥)))
21203adant3 1079 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑧(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(𝑧𝑥)))
228cnmetdval 22555 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑧(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑧𝑦)))
23223adant2 1078 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑧(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑧𝑦)))
2421, 23oveq12d 6653 . . . 4 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑧(abs ∘ − )𝑥) + (𝑧(abs ∘ − )𝑦)) = ((abs‘(𝑧𝑥)) + (abs‘(𝑧𝑦))))
25243coml 1270 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧(abs ∘ − )𝑥) + (𝑧(abs ∘ − )𝑦)) = ((abs‘(𝑧𝑥)) + (abs‘(𝑧𝑦))))
2618, 19, 253brtr4d 4676 . 2 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) ≤ ((𝑧(abs ∘ − )𝑥) + (𝑧(abs ∘ − )𝑦)))
271, 5, 13, 26ismeti 22111 1 (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988   × cxp 5102  ccom 5108  wf 5872  cfv 5876  (class class class)co 6635  cc 9919  cr 9920  0cc0 9921   + caddc 9924  cle 10060  cmin 10251  abscabs 13955  Metcme 19713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-map 7844  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-sup 8333  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-rp 11818  df-seq 12785  df-exp 12844  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-met 19721
This theorem is referenced by:  cnxmet  22557  cnfldms  22560  remet  22574  xrsdsre  22594  lebnumii  22746  cncmet  23100  cncms  23132  ovolctb  23239  dvlog2lem  24379  cnrrext  30028  cntotbnd  33566  iccbnd  33610  sblpnf  38329
  Copyright terms: Public domain W3C validator