Theorem cnmet 23374

Description: The absolute value metric determines a metric space on the complex numbers. This theorem provides a link between complex numbers and metrics spaces, making metric space theorems available for use with complex numbers. (Contributed by FL, 9-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
cnmet	⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)

Proof of Theorem cnmet

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 10612	. 2 ⊢ ℂ ∈ V
2		absf 14691	. . 3 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
3		subf 10882	. . 3 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
4		fco 6525	. . 3 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ)
5	2, 3, 4	mp2an 690	. 2 ⊢ (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ
6		subcl 10879	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ)
7	6	abs00ad 14644	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) = 0 ↔ (𝑥 − 𝑦) = 0))
8		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
9	8	cnmetdval 23373	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
10	9	eqcomd 2827	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) = (𝑥(abs ∘ − )𝑦))
11	10	eqeq1d 2823	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) = 0 ↔ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = 0))
12		subeq0 10906	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
13	7, 11, 12	3bitr3d 311	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥(abs ∘ − )𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
14		abs3dif 14685	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((abs‘(𝑥 − 𝑧)) + (abs‘(𝑧 − 𝑦))))
15		abssub 14680	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥 − 𝑧)) = (abs‘(𝑧 − 𝑥)))
16	15	oveq1d 7165	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑥 − 𝑧)) + (abs‘(𝑧 − 𝑦))) = ((abs‘(𝑧 − 𝑥)) + (abs‘(𝑧 − 𝑦))))
17	16	3adant2 1127	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑥 − 𝑧)) + (abs‘(𝑧 − 𝑦))) = ((abs‘(𝑧 − 𝑥)) + (abs‘(𝑧 − 𝑦))))
18	14, 17	breqtrd 5084	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((abs‘(𝑧 − 𝑥)) + (abs‘(𝑧 − 𝑦))))
19	9	3adant3 1128	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
20	8	cnmetdval 23373	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(𝑧 − 𝑥)))
21	20	3adant3 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑧(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(𝑧 − 𝑥)))
22	8	cnmetdval 23373	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑧(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑧 − 𝑦)))
23	22	3adant2 1127	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑧(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑧 − 𝑦)))
24	21, 23	oveq12d 7168	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑧(abs ∘ − )𝑥) + (𝑧(abs ∘ − )𝑦)) = ((abs‘(𝑧 − 𝑥)) + (abs‘(𝑧 − 𝑦))))
25	24	3coml 1123	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧(abs ∘ − )𝑥) + (𝑧(abs ∘ − )𝑦)) = ((abs‘(𝑧 − 𝑥)) + (abs‘(𝑧 − 𝑦))))
26	18, 19, 25	3brtr4d 5090	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) ≤ ((𝑧(abs ∘ − )𝑥) + (𝑧(abs ∘ − )𝑦)))
27	1, 5, 13, 26	ismeti 22929	1 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)

Syntax hints:   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   × cxp 5547   ∘ ccom 5553  ⟶wf 6345  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  ℝcr 10530  0cc0 10531   + caddc 10534   ≤ cle 10670   − cmin 10864  abscabs 14587  Metcmet 20525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-seq 13364  df-exp 13424  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-met 20533

This theorem is referenced by:  cnxmet  23375  cnfldms  23378  remet  23392  xrsdsre  23412  lebnumii  23564  cncmet  23919  cncms  23952  ovolctb  24085  dvlog2lem  25229  cnrrext  31246  cntotbnd  35068  iccbnd  35112  sblpnf  40635