Theorem cnmgpid 20606

Description: The group identity element of nonzero complex number multiplication is one. (Contributed by Steve Rodriguez, 23-Feb-2007.) (Revised by AV, 26-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnmgpabl.m	⊢ 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))

Assertion

Ref	Expression
cnmgpid	⊢ (0g‘𝑀) = 1

Proof of Theorem cnmgpid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnring 20566	. 2 ⊢ ℂfld ∈ Ring
2		difss 4107	. 2 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
3		ax-1cn 10594	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		ax-1ne0 10605	. . 3 ⊢ 1 ≠ 0
5		eldifsn 4718	. . 3 ⊢ (1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0))
6	3, 4, 5	mpbir2an 709	. 2 ⊢ 1 ∈ (ℂ ∖ {0})
7		cnmgpabl.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
8		cnfldbas 20548	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
9		cnfld1 20569	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
10	7, 8, 9	ringidss 19326	. . 3 ⊢ ((ℂfld ∈ Ring ∧ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 1 = (0g‘𝑀))
11	10	eqcomd 2827	. 2 ⊢ ((ℂfld ∈ Ring ∧ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (0g‘𝑀) = 1)
12	1, 2, 6, 11	mp3an 1457	1 ⊢ (0g‘𝑀) = 1

Syntax hints:   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   ∖ cdif 3932   ⊆ wss 3935  {csn 4566  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  ℂcc 10534  0cc0 10536  1c1 10537   ↾_s cress 16483  0_gc0g 16712  mulGrpcmgp 19238  Ringcrg 19296  ℂ_fldccnfld 20544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-addf 10615  ax-mulf 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-fz 12892  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-starv 16579  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-unif 16587  df-0g 16714  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-grp 18105  df-cmn 18907  df-mgp 19239  df-ur 19251  df-ring 19298  df-cring 19299  df-cnfld 20545

This theorem is referenced by: (None)