Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt1ds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmpt1ds 22626
 Description: Continuity of the metric function; analogue of cnmpt12f 21450 which cannot be used directly because 𝐷 is not necessarily a function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt1ds.d 𝐷 = (dist‘𝐺)
cnmpt1ds.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
cnmpt1ds.r 𝑅 = (topGen‘ran (,))
cnmpt1ds.g (𝜑𝐺 ∈ MetSp)
cnmpt1ds.k (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋))
cnmpt1ds.a (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
cnmpt1ds.b (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
Assertion
Ref Expression
cnmpt1ds (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐷𝐵)) ∈ (𝐾 Cn 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐺   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem cnmpt1ds
StepHypRef Expression
1 cnmpt1ds.k . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 cnmpt1ds.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ MetSp)
3 mstps 22241 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ MetSp → 𝐺 ∈ TopSp)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
5 eqid 2620 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
6 cnmpt1ds.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
75, 6istps 20719 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
84, 7sylib 208 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
9 cnmpt1ds.a . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
10 cnf2 21034 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)) ∧ (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐽)) → (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶(Base‘𝐺))
111, 8, 9, 10syl3anc 1324 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶(Base‘𝐺))
12 eqid 2620 . . . . . . 7 (𝑥𝑋𝐴) = (𝑥𝑋𝐴)
1312fmpt 6367 . . . . . 6 (∀𝑥𝑋 𝐴 ∈ (Base‘𝐺) ↔ (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶(Base‘𝐺))
1411, 13sylibr 224 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
1514r19.21bi 2929 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
16 cnmpt1ds.b . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
17 cnf2 21034 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)) ∧ (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐾 Cn 𝐽)) → (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶(Base‘𝐺))
181, 8, 16, 17syl3anc 1324 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶(Base‘𝐺))
19 eqid 2620 . . . . . . 7 (𝑥𝑋𝐵) = (𝑥𝑋𝐵)
2019fmpt 6367 . . . . . 6 (∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ (Base‘𝐺) ↔ (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶(Base‘𝐺))
2118, 20sylibr 224 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ (Base‘𝐺))
2221r19.21bi 2929 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵 ∈ (Base‘𝐺))
2315, 22ovresd 6786 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐴(𝐷 ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))
2423mpteq2dva 4735 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐴(𝐷 ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))𝐵)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐷𝐵)))
25 cnmpt1ds.d . . . . 5 𝐷 = (dist‘𝐺)
26 cnmpt1ds.r . . . . 5 𝑅 = (topGen‘ran (,))
275, 25, 6, 26msdcn 22625 . . . 4 (𝐺 ∈ MetSp → (𝐷 ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝑅))
282, 27syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐷 ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝑅))
291, 9, 16, 28cnmpt12f 21450 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐴(𝐷 ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))𝐵)) ∈ (𝐾 Cn 𝑅))
3024, 29eqeltrrd 2700 1 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐷𝐵)) ∈ (𝐾 Cn 𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1481   ∈ wcel 1988  ∀wral 2909   ↦ cmpt 4720   × cxp 5102  ran crn 5105   ↾ cres 5106  ⟶wf 5872  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635  (,)cioo 12160  Basecbs 15838  distcds 15931  TopOpenctopn 16063  topGenctg 16079  TopOnctopon 20696  TopSpctps 20717   Cn ccn 21009   ×t ctx 21344  MetSpcmt 22104 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-ec 7729  df-map 7844  df-ixp 7894  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-fi 8302  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-xneg 11931  df-xadd 11932  df-xmul 11933  df-ioo 12164  df-ioc 12165  df-ico 12166  df-icc 12167  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-seq 12785  df-exp 12844  df-hash 13101  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-hom 15947  df-cco 15948  df-rest 16064  df-topn 16065  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-topgen 16085  df-pt 16086  df-prds 16089  df-ordt 16142  df-xrs 16143  df-qtop 16148  df-imas 16149  df-xps 16151  df-mre 16227  df-mrc 16228  df-acs 16230  df-ps 17181  df-tsr 17182  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-submnd 17317  df-mulg 17522  df-cntz 17731  df-cmn 18176  df-psmet 19719  df-xmet 19720  df-met 19721  df-bl 19722  df-mopn 19723  df-top 20680  df-topon 20697  df-topsp 20718  df-bases 20731  df-cn 21012  df-cnp 21013  df-tx 21346  df-hmeo 21539  df-xms 22106  df-ms 22107  df-tms 22108 This theorem is referenced by:  nmcn  22628
 Copyright terms: Public domain W3C validator