MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt1res Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmpt1res 22212
Description: The restriction of a continuous function to a subset is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt1res.2 𝐾 = (𝐽t 𝑌)
cnmpt1res.3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
cnmpt1res.5 (𝜑𝑌𝑋)
cnmpt1res.6 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
Assertion
Ref Expression
cnmpt1res (𝜑 → (𝑥𝑌𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem cnmpt1res
StepHypRef Expression
1 cnmpt1res.5 . . 3 (𝜑𝑌𝑋)
21resmptd 5901 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑌) = (𝑥𝑌𝐴))
3 cnmpt1res.6 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
4 cnmpt1res.3 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5 toponuni 21450 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑋 = 𝐽)
71, 6sseqtrd 4004 . . . 4 (𝜑𝑌 𝐽)
8 eqid 2818 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
98cnrest 21821 . . . 4 (((𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐿) ∧ 𝑌 𝐽) → ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑌) ∈ ((𝐽t 𝑌) Cn 𝐿))
103, 7, 9syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑌) ∈ ((𝐽t 𝑌) Cn 𝐿))
11 cnmpt1res.2 . . . 4 𝐾 = (𝐽t 𝑌)
1211oveq1i 7155 . . 3 (𝐾 Cn 𝐿) = ((𝐽t 𝑌) Cn 𝐿)
1310, 12eleqtrrdi 2921 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑌) ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
142, 13eqeltrrd 2911 1 (𝜑 → (𝑥𝑌𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  wss 3933   cuni 4830  cmpt 5137  cres 5550  cfv 6348  (class class class)co 7145  t crest 16682  TopOnctopon 21446   Cn ccn 21760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-fin 8501  df-fi 8863  df-rest 16684  df-topgen 16705  df-top 21430  df-topon 21447  df-bases 21482  df-cn 21763
This theorem is referenced by:  symgtgp  22637  subgtgp  22641  cnmptre  23458  evth2  23491  pcoass  23555  efrlim  25474  ipasslem7  28540  cvxpconn  32386  cvmliftlem8  32436
  Copyright terms: Public domain W3C validator