Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt2ip Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmpt2ip 23028
 Description: Continuity of inner product; analogue of cnmpt22f 21459 which cannot be used directly because ·𝑖 is not a function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt1ip.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
cnmpt1ip.c 𝐶 = (TopOpen‘ℂfld)
cnmpt1ip.h , = (·𝑖𝑊)
cnmpt1ip.r (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
cnmpt1ip.k (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋))
cnmpt2ip.l (𝜑𝐿 ∈ (TopOn‘𝑌))
cnmpt2ip.a (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐴) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽))
cnmpt2ip.b (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐵) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽))
Assertion
Ref Expression
cnmpt2ip (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ (𝐴 , 𝐵)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   , (𝑥,𝑦)   𝐾(𝑦)   𝐿(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cnmpt2ip
StepHypRef Expression
1 cnmpt1ip.k . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 cnmpt2ip.l . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐿 ∈ (TopOn‘𝑌))
3 txtopon 21375 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐾 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
41, 2, 3syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
5 cnmpt1ip.r . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
6 cphngp 22954 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)
7 ngptps 22387 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ TopSp)
85, 6, 73syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ TopSp)
9 eqid 2620 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
10 cnmpt1ip.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
119, 10istps 20719 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
128, 11sylib 208 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
13 cnmpt2ip.a . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐴) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽))
14 cnf2 21034 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)) ∧ (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐴) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽)) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐴):(𝑋 × 𝑌)⟶(Base‘𝑊))
154, 12, 13, 14syl3anc 1324 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐴):(𝑋 × 𝑌)⟶(Base‘𝑊))
16 eqid 2620 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐴) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐴)
1716fmpt2 7222 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝑋𝑦𝑌 𝐴 ∈ (Base‘𝑊) ↔ (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐴):(𝑋 × 𝑌)⟶(Base‘𝑊))
1815, 17sylibr 224 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑌 𝐴 ∈ (Base‘𝑊))
1918r19.21bi 2929 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ∀𝑦𝑌 𝐴 ∈ (Base‘𝑊))
2019r19.21bi 2929 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑌) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑊))
21 cnmpt2ip.b . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐵) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽))
22 cnf2 21034 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)) ∧ (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐵) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽)) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐵):(𝑋 × 𝑌)⟶(Base‘𝑊))
234, 12, 21, 22syl3anc 1324 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐵):(𝑋 × 𝑌)⟶(Base‘𝑊))
24 eqid 2620 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐵) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐵)
2524fmpt2 7222 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝑋𝑦𝑌 𝐵 ∈ (Base‘𝑊) ↔ (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐵):(𝑋 × 𝑌)⟶(Base‘𝑊))
2623, 25sylibr 224 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑌 𝐵 ∈ (Base‘𝑊))
2726r19.21bi 2929 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ∀𝑦𝑌 𝐵 ∈ (Base‘𝑊))
2827r19.21bi 2929 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑌) → 𝐵 ∈ (Base‘𝑊))
29 cnmpt1ip.h . . . . . 6 , = (·𝑖𝑊)
30 eqid 2620 . . . . . 6 (·if𝑊) = (·if𝑊)
319, 29, 30ipfval 19975 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐴(·if𝑊)𝐵) = (𝐴 , 𝐵))
3220, 28, 31syl2anc 692 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑌) → (𝐴(·if𝑊)𝐵) = (𝐴 , 𝐵))
33323impa 1257 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋𝑦𝑌) → (𝐴(·if𝑊)𝐵) = (𝐴 , 𝐵))
3433mpt2eq3dva 6704 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ (𝐴(·if𝑊)𝐵)) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ (𝐴 , 𝐵)))
35 cnmpt1ip.c . . . . 5 𝐶 = (TopOpen‘ℂfld)
3630, 10, 35ipcn 23026 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂPreHil → (·if𝑊) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐶))
375, 36syl 17 . . 3 (𝜑 → (·if𝑊) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐶))
381, 2, 13, 21, 37cnmpt22f 21459 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ (𝐴(·if𝑊)𝐵)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐶))
3934, 38eqeltrrd 2700 1 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ (𝐴 , 𝐵)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1481   ∈ wcel 1988  ∀wral 2909   × cxp 5102  ⟶wf 5872  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635   ↦ cmpt2 6637  Basecbs 15838  ·𝑖cip 15927  TopOpenctopn 16063  ℂfldccnfld 19727  ·ifcipf 19951  TopOnctopon 20696  TopSpctps 20717   Cn ccn 21009   ×t ctx 21344  NrmGrpcngp 22363  ℂPreHilccph 22947 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000  ax-mulf 10001 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-tpos 7337  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-ixp 7894  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-fi 8302  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-xneg 11931  df-xadd 11932  df-xmul 11933  df-ico 12166  df-icc 12167  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-seq 12785  df-exp 12844  df-hash 13101  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-hom 15947  df-cco 15948  df-rest 16064  df-topn 16065  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-topgen 16085  df-pt 16086  df-prds 16089  df-xrs 16143  df-qtop 16148  df-imas 16149  df-xps 16151  df-mre 16227  df-mrc 16228  df-acs 16230  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-mhm 17316  df-submnd 17317  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-sbg 17408  df-mulg 17522  df-subg 17572  df-ghm 17639  df-cntz 17731  df-cmn 18176  df-abl 18177  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-ring 18530  df-cring 18531  df-oppr 18604  df-dvdsr 18622  df-unit 18623  df-invr 18653  df-dvr 18664  df-rnghom 18696  df-drng 18730  df-subrg 18759  df-staf 18826  df-srng 18827  df-lmod 18846  df-lmhm 19003  df-lvec 19084  df-sra 19153  df-rgmod 19154  df-psmet 19719  df-xmet 19720  df-met 19721  df-bl 19722  df-mopn 19723  df-cnfld 19728  df-phl 19952  df-ipf 19953  df-top 20680  df-topon 20697  df-topsp 20718  df-bases 20731  df-cn 21012  df-cnp 21013  df-tx 21346  df-hmeo 21539  df-xms 22106  df-ms 22107  df-tms 22108  df-nm 22368  df-ngp 22369  df-tng 22370  df-nlm 22372  df-clm 22844  df-cph 22949  df-tch 22950 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator