MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt2res Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmpt2res 21420
Description: The restriction of a continuous function to a subset is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt1res.2 𝐾 = (𝐽t 𝑌)
cnmpt1res.3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
cnmpt1res.5 (𝜑𝑌𝑋)
cnmpt2res.7 𝑁 = (𝑀t 𝑊)
cnmpt2res.8 (𝜑𝑀 ∈ (TopOn‘𝑍))
cnmpt2res.9 (𝜑𝑊𝑍)
cnmpt2res.10 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑍𝐴) ∈ ((𝐽 ×t 𝑀) Cn 𝐿))
Assertion
Ref Expression
cnmpt2res (𝜑 → (𝑥𝑌, 𝑦𝑊𝐴) ∈ ((𝐾 ×t 𝑁) Cn 𝐿))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑊   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)   𝐿(𝑥,𝑦)   𝑀(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cnmpt2res
StepHypRef Expression
1 cnmpt2res.10 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑍𝐴) ∈ ((𝐽 ×t 𝑀) Cn 𝐿))
2 cnmpt1res.5 . . . . 5 (𝜑𝑌𝑋)
3 cnmpt2res.9 . . . . 5 (𝜑𝑊𝑍)
4 xpss12 5196 . . . . 5 ((𝑌𝑋𝑊𝑍) → (𝑌 × 𝑊) ⊆ (𝑋 × 𝑍))
52, 3, 4syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 × 𝑊) ⊆ (𝑋 × 𝑍))
6 cnmpt1res.3 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
7 cnmpt2res.8 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (TopOn‘𝑍))
8 txtopon 21334 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (TopOn‘𝑍)) → (𝐽 ×t 𝑀) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑍)))
96, 7, 8syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽 ×t 𝑀) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑍)))
10 toponuni 20659 . . . . 5 ((𝐽 ×t 𝑀) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑍)) → (𝑋 × 𝑍) = (𝐽 ×t 𝑀))
119, 10syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 × 𝑍) = (𝐽 ×t 𝑀))
125, 11sseqtrd 3626 . . 3 (𝜑 → (𝑌 × 𝑊) ⊆ (𝐽 ×t 𝑀))
13 eqid 2621 . . . 4 (𝐽 ×t 𝑀) = (𝐽 ×t 𝑀)
1413cnrest 21029 . . 3 (((𝑥𝑋, 𝑦𝑍𝐴) ∈ ((𝐽 ×t 𝑀) Cn 𝐿) ∧ (𝑌 × 𝑊) ⊆ (𝐽 ×t 𝑀)) → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑍𝐴) ↾ (𝑌 × 𝑊)) ∈ (((𝐽 ×t 𝑀) ↾t (𝑌 × 𝑊)) Cn 𝐿))
151, 12, 14syl2anc 692 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑍𝐴) ↾ (𝑌 × 𝑊)) ∈ (((𝐽 ×t 𝑀) ↾t (𝑌 × 𝑊)) Cn 𝐿))
16 resmpt2 6723 . . 3 ((𝑌𝑋𝑊𝑍) → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑍𝐴) ↾ (𝑌 × 𝑊)) = (𝑥𝑌, 𝑦𝑊𝐴))
172, 3, 16syl2anc 692 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑍𝐴) ↾ (𝑌 × 𝑊)) = (𝑥𝑌, 𝑦𝑊𝐴))
18 topontop 20658 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
196, 18syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ Top)
20 topontop 20658 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (TopOn‘𝑍) → 𝑀 ∈ Top)
217, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ Top)
22 toponmax 20670 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋𝐽)
236, 22syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐽)
2423, 2ssexd 4775 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ V)
25 toponmax 20670 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (TopOn‘𝑍) → 𝑍𝑀)
267, 25syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑀)
2726, 3ssexd 4775 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ V)
28 txrest 21374 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑀 ∈ Top) ∧ (𝑌 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ V)) → ((𝐽 ×t 𝑀) ↾t (𝑌 × 𝑊)) = ((𝐽t 𝑌) ×t (𝑀t 𝑊)))
2919, 21, 24, 27, 28syl22anc 1324 . . . 4 (𝜑 → ((𝐽 ×t 𝑀) ↾t (𝑌 × 𝑊)) = ((𝐽t 𝑌) ×t (𝑀t 𝑊)))
30 cnmpt1res.2 . . . . 5 𝐾 = (𝐽t 𝑌)
31 cnmpt2res.7 . . . . 5 𝑁 = (𝑀t 𝑊)
3230, 31oveq12i 6627 . . . 4 (𝐾 ×t 𝑁) = ((𝐽t 𝑌) ×t (𝑀t 𝑊))
3329, 32syl6eqr 2673 . . 3 (𝜑 → ((𝐽 ×t 𝑀) ↾t (𝑌 × 𝑊)) = (𝐾 ×t 𝑁))
3433oveq1d 6630 . 2 (𝜑 → (((𝐽 ×t 𝑀) ↾t (𝑌 × 𝑊)) Cn 𝐿) = ((𝐾 ×t 𝑁) Cn 𝐿))
3515, 17, 343eltr3d 2712 1 (𝜑 → (𝑥𝑌, 𝑦𝑊𝐴) ∈ ((𝐾 ×t 𝑁) Cn 𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3190  wss 3560   cuni 4409   × cxp 5082  cres 5086  cfv 5857  (class class class)co 6615  cmpt2 6617  t crest 16021  Topctop 20638  TopOnctopon 20655   Cn ccn 20968   ×t ctx 21303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-fin 7919  df-fi 8277  df-rest 16023  df-topgen 16044  df-top 20639  df-topon 20656  df-bases 20690  df-cn 20971  df-tx 21305
This theorem is referenced by:  symgtgp  21845  submtmd  21848  iimulcn  22677  cxpcn2  24421  cxpcn3  24423  cvxsconn  30986  cvmlift2lem6  31051  cvmlift2lem12  31057
  Copyright terms: Public domain W3C validator