Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmptlimc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmptlimc 23577
 Description: If 𝐹 is a continuous function, then the limit of the function at any point equals its value. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptlimc.f (𝜑 → (𝑥𝐴𝑋) ∈ (𝐴cn𝐷))
cnmptlimc.b (𝜑𝐵𝐴)
cnmptlimc.1 (𝑥 = 𝐵𝑋 = 𝑌)
Assertion
Ref Expression
cnmptlimc (𝜑𝑌 ∈ ((𝑥𝐴𝑋) lim 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem cnmptlimc
StepHypRef Expression
1 cnmptlimc.b . . 3 (𝜑𝐵𝐴)
2 cnmptlimc.f . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑋) ∈ (𝐴cn𝐷))
3 cncff 22619 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝑋) ∈ (𝐴cn𝐷) → (𝑥𝐴𝑋):𝐴𝐷)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑋):𝐴𝐷)
5 eqid 2621 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝑋) = (𝑥𝐴𝑋)
65fmpt 6342 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝑋𝐷 ↔ (𝑥𝐴𝑋):𝐴𝐷)
74, 6sylibr 224 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝑋𝐷)
8 cnmptlimc.1 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵𝑋 = 𝑌)
98eleq1d 2683 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝑋𝐷𝑌𝐷))
109rspcv 3294 . . . 4 (𝐵𝐴 → (∀𝑥𝐴 𝑋𝐷𝑌𝐷))
111, 7, 10sylc 65 . . 3 (𝜑𝑌𝐷)
128, 5fvmptg 6242 . . 3 ((𝐵𝐴𝑌𝐷) → ((𝑥𝐴𝑋)‘𝐵) = 𝑌)
131, 11, 12syl2anc 692 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝑋)‘𝐵) = 𝑌)
142, 1cnlimci 23576 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝑋)‘𝐵) ∈ ((𝑥𝐴𝑋) lim 𝐵))
1513, 14eqeltrrd 2699 1 (𝜑𝑌 ∈ ((𝑥𝐴𝑋) lim 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907   ↦ cmpt 4678  ⟶wf 5848  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  –cn→ccncf 22602   limℂ climc 23549 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fi 8269  df-sup 8300  df-inf 8301  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-xneg 11898  df-xadd 11899  df-xmul 11900  df-fz 12277  df-seq 12750  df-exp 12809  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-rest 16015  df-topn 16016  df-topgen 16036  df-psmet 19670  df-xmet 19671  df-met 19672  df-bl 19673  df-mopn 19674  df-cnfld 19679  df-top 20631  df-topon 20648  df-topsp 20661  df-bases 20674  df-cn 20954  df-cnp 20955  df-xms 22048  df-ms 22049  df-cncf 22604  df-limc 23553 This theorem is referenced by:  dvidlem  23602  dvcnp2  23606  dvmulbr  23625  dvrec  23641  lhop1lem  23697  lhop2  23699  taylthlem2  24049  fourierdlem62  39718  fourierdlem73  39729  fourierdlem76  39732
 Copyright terms: Public domain W3C validator