Theorem cnmsgnbas 20721

Description: The base set of the sign subgroup of the complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnmsgngrp.u	⊢ 𝑈 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})

Assertion

Ref	Expression
cnmsgnbas	⊢ {1, -1} = (Base‘𝑈)

Proof of Theorem cnmsgnbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 10594	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		neg1cn 11750	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℂ
3		prssi 4753	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → {1, -1} ⊆ ℂ)
4	1, 2, 3	mp2an 690	. 2 ⊢ {1, -1} ⊆ ℂ
5		cnmsgngrp.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
6		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
7		cnfldbas 20548	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
8	6, 7	mgpbas 19244	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
9	5, 8	ressbas2 16554	. 2 ⊢ ({1, -1} ⊆ ℂ → {1, -1} = (Base‘𝑈))
10	4, 9	ax-mp 5	1 ⊢ {1, -1} = (Base‘𝑈)

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3935  {cpr 4568  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  ℂcc 10534  1c1 10537  -cneg 10870  Basecbs 16482   ↾_s cress 16483  mulGrpcmgp 19238  ℂ_fldccnfld 20544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-fz 12892  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-starv 16579  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-unif 16587  df-mgp 19239  df-cnfld 20545

This theorem is referenced by:  psgnghm  20723  psgninv  20725  psgnodpm  20731