MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmsgngrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmsgngrp 19689
Description: The group of signs under multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnmsgngrp.u 𝑈 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
Assertion
Ref Expression
cnmsgngrp 𝑈 ∈ Grp

Proof of Theorem cnmsgngrp
StepHypRef Expression
1 eqid 2609 . . 3 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
21cnmsgnsubg 19687 . 2 {1, -1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
3 cnmsgngrp.u . . . 4 𝑈 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
4 cnex 9873 . . . . . 6 ℂ ∈ V
5 difss 3698 . . . . . 6 (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
64, 5ssexi 4726 . . . . 5 (ℂ ∖ {0}) ∈ V
7 ax-1cn 9850 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
8 ax-1ne0 9861 . . . . . . 7 1 ≠ 0
9 eldifsn 4259 . . . . . . 7 (1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0))
107, 8, 9mpbir2an 956 . . . . . 6 1 ∈ (ℂ ∖ {0})
11 neg1cn 10971 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
12 neg1ne0 10973 . . . . . . 7 -1 ≠ 0
13 eldifsn 4259 . . . . . . 7 (-1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0))
1411, 12, 13mpbir2an 956 . . . . . 6 -1 ∈ (ℂ ∖ {0})
15 prssi 4292 . . . . . 6 ((1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ -1 ∈ (ℂ ∖ {0})) → {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0}))
1610, 14, 15mp2an 703 . . . . 5 {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0})
17 ressabs 15712 . . . . 5 (((ℂ ∖ {0}) ∈ V ∧ {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
186, 16, 17mp2an 703 . . . 4 (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
193, 18eqtr4i 2634 . . 3 𝑈 = (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s {1, -1})
2019subggrp 17366 . 2 ({1, -1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → 𝑈 ∈ Grp)
212, 20ax-mp 5 1 𝑈 ∈ Grp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  Vcvv 3172  cdif 3536  wss 3539  {csn 4124  {cpr 4126  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790  0cc0 9792  1c1 9793  -cneg 10118  s cress 15642  Grpcgrp 17191  SubGrpcsubg 17357  mulGrpcmgp 18258  fldccnfld 19513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-tpos 7216  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-fz 12153  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-0g 15871  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-subg 17360  df-cmn 17964  df-abl 17965  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-cring 18319  df-oppr 18392  df-dvdsr 18410  df-unit 18411  df-invr 18441  df-dvr 18452  df-drng 18518  df-cnfld 19514
This theorem is referenced by:  psgnghm  19690
  Copyright terms: Public domain W3C validator