MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmsubglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmsubglem 19577
Description: Lemma for rpmsubg 19578 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmgpabl.m 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
cnmsubglem.1 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℂ)
cnmsubglem.2 (𝑥𝐴𝑥 ≠ 0)
cnmsubglem.3 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)
cnmsubglem.4 1 ∈ 𝐴
cnmsubglem.5 (𝑥𝐴 → (1 / 𝑥) ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
cnmsubglem 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑀)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝑀,𝑦

Proof of Theorem cnmsubglem
StepHypRef Expression
1 cnmsubglem.1 . . . 4 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℂ)
2 cnmsubglem.2 . . . 4 (𝑥𝐴𝑥 ≠ 0)
3 eldifsn 4259 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
41, 2, 3sylanbrc 694 . . 3 (𝑥𝐴𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
54ssriv 3571 . 2 𝐴 ⊆ (ℂ ∖ {0})
6 cnmsubglem.4 . . 3 1 ∈ 𝐴
76ne0ii 3881 . 2 𝐴 ≠ ∅
8 cnmsubglem.3 . . . . 5 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)
98ralrimiva 2948 . . . 4 (𝑥𝐴 → ∀𝑦𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)
10 cnfldinv 19545 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘𝑥) = (1 / 𝑥))
111, 2, 10syl2anc 690 . . . . 5 (𝑥𝐴 → ((invr‘ℂfld)‘𝑥) = (1 / 𝑥))
12 cnmsubglem.5 . . . . 5 (𝑥𝐴 → (1 / 𝑥) ∈ 𝐴)
1311, 12eqeltrd 2687 . . . 4 (𝑥𝐴 → ((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)
149, 13jca 552 . . 3 (𝑥𝐴 → (∀𝑦𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴))
1514rgen 2905 . 2 𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)
16 cnmgpabl.m . . . 4 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
1716cnmgpabl 19575 . . 3 𝑀 ∈ Abel
18 ablgrp 17970 . . 3 (𝑀 ∈ Abel → 𝑀 ∈ Grp)
19 difss 3698 . . . . 5 (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
20 eqid 2609 . . . . . . 7 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
21 cnfldbas 19520 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
2220, 21mgpbas 18267 . . . . . 6 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
2316, 22ressbas2 15707 . . . . 5 ((ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ → (ℂ ∖ {0}) = (Base‘𝑀))
2419, 23ax-mp 5 . . . 4 (ℂ ∖ {0}) = (Base‘𝑀)
25 cnex 9874 . . . . 5 ℂ ∈ V
26 difexg 4730 . . . . 5 (ℂ ∈ V → (ℂ ∖ {0}) ∈ V)
27 cnfldmul 19522 . . . . . . 7 · = (.r‘ℂfld)
2820, 27mgpplusg 18265 . . . . . 6 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
2916, 28ressplusg 15767 . . . . 5 ((ℂ ∖ {0}) ∈ V → · = (+g𝑀))
3025, 26, 29mp2b 10 . . . 4 · = (+g𝑀)
31 cnfld0 19538 . . . . . 6 0 = (0g‘ℂfld)
32 cndrng 19543 . . . . . 6 fld ∈ DivRing
3321, 31, 32drngui 18525 . . . . 5 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
34 eqid 2609 . . . . 5 (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
3533, 16, 34invrfval 18445 . . . 4 (invr‘ℂfld) = (invg𝑀)
3624, 30, 35issubg2 17381 . . 3 (𝑀 ∈ Grp → (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴))))
3717, 18, 36mp2b 10 . 2 (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)))
385, 7, 15, 37mpbir3an 1236 1 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  Vcvv 3172  cdif 3536  wss 3539  c0 3873  {csn 4124  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9791  0cc0 9793  1c1 9794   · cmul 9798   / cdiv 10536  Basecbs 15644  s cress 15645  +gcplusg 15717  Grpcgrp 17194  SubGrpcsubg 17360  Abelcabl 17966  mulGrpcmgp 18261  invrcinvr 18443  fldccnfld 19516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-addf 9872  ax-mulf 9873
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-tpos 7217  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-7 10934  df-8 10935  df-9 10936  df-n0 11143  df-z 11214  df-dec 11329  df-uz 11523  df-fz 12156  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-ress 15651  df-plusg 15730  df-mulr 15731  df-starv 15732  df-tset 15736  df-ple 15737  df-ds 15740  df-unif 15741  df-0g 15874  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-grp 17197  df-minusg 17198  df-subg 17363  df-cmn 17967  df-abl 17968  df-mgp 18262  df-ur 18274  df-ring 18321  df-cring 18322  df-oppr 18395  df-dvdsr 18413  df-unit 18414  df-invr 18444  df-dvr 18455  df-drng 18521  df-cnfld 19517
This theorem is referenced by:  rpmsubg  19578  cnmsgnsubg  19690
  Copyright terms: Public domain W3C validator