MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmsubglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmsubglem 20536
Description: Lemma for rpmsubg 20537 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmgpabl.m 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
cnmsubglem.1 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℂ)
cnmsubglem.2 (𝑥𝐴𝑥 ≠ 0)
cnmsubglem.3 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)
cnmsubglem.4 1 ∈ 𝐴
cnmsubglem.5 (𝑥𝐴 → (1 / 𝑥) ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
cnmsubglem 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑀)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝑀,𝑦

Proof of Theorem cnmsubglem
StepHypRef Expression
1 cnmsubglem.1 . . . 4 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℂ)
2 cnmsubglem.2 . . . 4 (𝑥𝐴𝑥 ≠ 0)
3 eldifsn 4711 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
41, 2, 3sylanbrc 583 . . 3 (𝑥𝐴𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
54ssriv 3968 . 2 𝐴 ⊆ (ℂ ∖ {0})
6 cnmsubglem.4 . . 3 1 ∈ 𝐴
76ne0ii 4300 . 2 𝐴 ≠ ∅
8 cnmsubglem.3 . . . . 5 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)
98ralrimiva 3179 . . . 4 (𝑥𝐴 → ∀𝑦𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)
10 cnfldinv 20504 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘𝑥) = (1 / 𝑥))
111, 2, 10syl2anc 584 . . . . 5 (𝑥𝐴 → ((invr‘ℂfld)‘𝑥) = (1 / 𝑥))
12 cnmsubglem.5 . . . . 5 (𝑥𝐴 → (1 / 𝑥) ∈ 𝐴)
1311, 12eqeltrd 2910 . . . 4 (𝑥𝐴 → ((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)
149, 13jca 512 . . 3 (𝑥𝐴 → (∀𝑦𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴))
1514rgen 3145 . 2 𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)
16 cnmgpabl.m . . . 4 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
1716cnmgpabl 20534 . . 3 𝑀 ∈ Abel
18 ablgrp 18840 . . 3 (𝑀 ∈ Abel → 𝑀 ∈ Grp)
19 difss 4105 . . . . 5 (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
20 eqid 2818 . . . . . . 7 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
21 cnfldbas 20477 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
2220, 21mgpbas 19174 . . . . . 6 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
2316, 22ressbas2 16543 . . . . 5 ((ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ → (ℂ ∖ {0}) = (Base‘𝑀))
2419, 23ax-mp 5 . . . 4 (ℂ ∖ {0}) = (Base‘𝑀)
25 cnex 10606 . . . . 5 ℂ ∈ V
26 difexg 5222 . . . . 5 (ℂ ∈ V → (ℂ ∖ {0}) ∈ V)
27 cnfldmul 20479 . . . . . . 7 · = (.r‘ℂfld)
2820, 27mgpplusg 19172 . . . . . 6 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
2916, 28ressplusg 16600 . . . . 5 ((ℂ ∖ {0}) ∈ V → · = (+g𝑀))
3025, 26, 29mp2b 10 . . . 4 · = (+g𝑀)
31 cnfld0 20497 . . . . . 6 0 = (0g‘ℂfld)
32 cndrng 20502 . . . . . 6 fld ∈ DivRing
3321, 31, 32drngui 19437 . . . . 5 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
34 eqid 2818 . . . . 5 (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
3533, 16, 34invrfval 19352 . . . 4 (invr‘ℂfld) = (invg𝑀)
3624, 30, 35issubg2 18232 . . 3 (𝑀 ∈ Grp → (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴))))
3717, 18, 36mp2b 10 . 2 (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)))
385, 7, 15, 37mpbir3an 1333 1 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  Vcvv 3492  cdif 3930  wss 3933  c0 4288  {csn 4557  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525  1c1 10526   · cmul 10530   / cdiv 11285  Basecbs 16471  s cress 16472  +gcplusg 16553  Grpcgrp 18041  SubGrpcsubg 18211  Abelcabl 18836  mulGrpcmgp 19168  invrcinvr 19350  fldccnfld 20473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-subg 18214  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-dvr 19362  df-drng 19433  df-cnfld 20474
This theorem is referenced by:  rpmsubg  20537  cnmsgnsubg  20649
  Copyright terms: Public domain W3C validator