Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnntri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnntri 20985
 Description: Property of the preimage of an interior. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cncls2i.1 𝑌 = 𝐾
Assertion
Ref Expression
cnntri ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆𝑌) → (𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ⊆ ((int‘𝐽)‘(𝐹𝑆)))

Proof of Theorem cnntri
StepHypRef Expression
1 cntop1 20954 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
21adantr 481 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆𝑌) → 𝐽 ∈ Top)
3 cnvimass 5444 . . 3 (𝐹𝑆) ⊆ dom 𝐹
4 eqid 2621 . . . . . 6 𝐽 = 𝐽
5 cncls2i.1 . . . . . 6 𝑌 = 𝐾
64, 5cnf 20960 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹: 𝐽𝑌)
7 fdm 6008 . . . . 5 (𝐹: 𝐽𝑌 → dom 𝐹 = 𝐽)
86, 7syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → dom 𝐹 = 𝐽)
98adantr 481 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆𝑌) → dom 𝐹 = 𝐽)
103, 9syl5sseq 3632 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆𝑌) → (𝐹𝑆) ⊆ 𝐽)
11 cntop2 20955 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
125ntropn 20763 . . . 4 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆𝑌) → ((int‘𝐾)‘𝑆) ∈ 𝐾)
1311, 12sylan 488 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆𝑌) → ((int‘𝐾)‘𝑆) ∈ 𝐾)
14 cnima 20979 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ((int‘𝐾)‘𝑆) ∈ 𝐾) → (𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ∈ 𝐽)
1513, 14syldan 487 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆𝑌) → (𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ∈ 𝐽)
165ntrss2 20771 . . . 4 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆𝑌) → ((int‘𝐾)‘𝑆) ⊆ 𝑆)
1711, 16sylan 488 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆𝑌) → ((int‘𝐾)‘𝑆) ⊆ 𝑆)
18 imass2 5460 . . 3 (((int‘𝐾)‘𝑆) ⊆ 𝑆 → (𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ⊆ (𝐹𝑆))
1917, 18syl 17 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆𝑌) → (𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ⊆ (𝐹𝑆))
204ssntr 20772 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐹𝑆) ⊆ 𝐽) ∧ ((𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ∈ 𝐽 ∧ (𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ⊆ (𝐹𝑆))) → (𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ⊆ ((int‘𝐽)‘(𝐹𝑆)))
212, 10, 15, 19, 20syl22anc 1324 1 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆𝑌) → (𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ⊆ ((int‘𝐽)‘(𝐹𝑆)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ⊆ wss 3555  ∪ cuni 4402  ◡ccnv 5073  dom cdm 5074   “ cima 5077  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  Topctop 20617  intcnt 20731   Cn ccn 20938 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-map 7804  df-top 20621  df-topon 20623  df-ntr 20734  df-cn 20941 This theorem is referenced by:  cnntr  20989  hmeontr  21482
 Copyright terms: Public domain W3C validator