MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnnvs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnnvs 26713
Description: The scalar product operation of the normed complex vector space of complex numbers. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
cnnvs.6 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
Assertion
Ref Expression
cnnvs · = ( ·𝑠OLD𝑈)

Proof of Theorem cnnvs
StepHypRef Expression
1 eqid 2606 . . 3 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
21smfval 26625 . 2 ( ·𝑠OLD𝑈) = (2nd ‘(1st𝑈))
3 cnnvs.6 . . . . 5 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
43fveq2i 6088 . . . 4 (1st𝑈) = (1st ‘⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)
5 opex 4850 . . . . 5 ⟨ + , · ⟩ ∈ V
6 absf 13868 . . . . . 6 abs:ℂ⟶ℝ
7 cnex 9870 . . . . . 6 ℂ ∈ V
8 fex 6369 . . . . . 6 ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℂ ∈ V) → abs ∈ V)
96, 7, 8mp2an 703 . . . . 5 abs ∈ V
105, 9op1st 7041 . . . 4 (1st ‘⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) = ⟨ + , · ⟩
114, 10eqtri 2628 . . 3 (1st𝑈) = ⟨ + , · ⟩
1211fveq2i 6088 . 2 (2nd ‘(1st𝑈)) = (2nd ‘⟨ + , · ⟩)
13 addex 11659 . . 3 + ∈ V
14 mulex 11660 . . 3 · ∈ V
1513, 14op2nd 7042 . 2 (2nd ‘⟨ + , · ⟩) = ·
162, 12, 153eqtrri 2633 1 · = ( ·𝑠OLD𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3169  cop 4127  wf 5783  cfv 5787  1st c1st 7031  2nd c2nd 7032  cc 9787  cr 9788   + caddc 9792   · cmul 9794  abscabs 13765   ·𝑠OLD cns 26607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-pre-sup 9867  ax-addf 9868  ax-mulf 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-sup 8205  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-rp 11662  df-seq 12616  df-exp 12675  df-cj 13630  df-re 13631  df-im 13632  df-sqrt 13766  df-abs 13767  df-sm 26617
This theorem is referenced by:  cnnvm  26715  ipblnfi  26898
  Copyright terms: Public domain W3C validator