Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnprest2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnprest2 21017
 Description: Equivalence of point-continuity in the parent topology and point-continuity in a subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnprest.1 𝑋 = 𝐽
cnprest.2 𝑌 = 𝐾
Assertion
Ref Expression
cnprest2 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃)))

Proof of Theorem cnprest2
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnptop1 20969 . . . 4 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝐽 ∈ Top)
2 cnprest.1 . . . . 5 𝑋 = 𝐽
32cnprcl 20972 . . . 4 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝑃𝑋)
41, 3jca 554 . . 3 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋))
54a1i 11 . 2 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)))
6 cnptop1 20969 . . . 4 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃) → 𝐽 ∈ Top)
72cnprcl 20972 . . . 4 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃) → 𝑃𝑋)
86, 7jca 554 . . 3 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋))
98a1i 11 . 2 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)))
10 simpl2 1063 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝐹:𝑋𝐵)
11 simprr 795 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝑃𝑋)
1210, 11ffvelrnd 6321 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐵)
1312biantrud 528 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 ↔ ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐵)))
14 elin 3779 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑃) ∈ (𝑥𝐵) ↔ ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐵))
1513, 14syl6bbr 278 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 ↔ (𝐹𝑃) ∈ (𝑥𝐵)))
16 imassrn 5441 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝑦) ⊆ ran 𝐹
17 frn 6015 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝑋𝐵 → ran 𝐹𝐵)
1810, 17syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → ran 𝐹𝐵)
1916, 18syl5ss 3598 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (𝐹𝑦) ⊆ 𝐵)
2019biantrud 528 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → ((𝐹𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ ((𝐹𝑦) ⊆ 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝐵)))
21 ssin 3818 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑦) ⊆ 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝐵) ↔ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵))
2220, 21syl6bb 276 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → ((𝐹𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵)))
2322anbi2d 739 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → ((𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥) ↔ (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵))))
2423rexbidv 3046 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥) ↔ ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵))))
2515, 24imbi12d 334 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥)) ↔ ((𝐹𝑃) ∈ (𝑥𝐵) → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵)))))
2625ralbidv 2981 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (∀𝑥𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ (𝑥𝐵) → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵)))))
27 vex 3192 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
2827inex1 4764 . . . . . . 7 (𝑥𝐵) ∈ V
2928a1i 11 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) ∧ 𝑥𝐾) → (𝑥𝐵) ∈ V)
30 simpl1 1062 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝐾 ∈ Top)
31 cnprest.2 . . . . . . . . . 10 𝑌 = 𝐾
32 uniexg 6915 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ Top → 𝐾 ∈ V)
3331, 32syl5eqel 2702 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ Top → 𝑌 ∈ V)
3430, 33syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝑌 ∈ V)
35 simpl3 1064 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝐵𝑌)
3634, 35ssexd 4770 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝐵 ∈ V)
37 elrest 16020 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑧 ∈ (𝐾t 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐾 𝑧 = (𝑥𝐵)))
3830, 36, 37syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (𝑧 ∈ (𝐾t 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐾 𝑧 = (𝑥𝐵)))
39 eleq2 2687 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑥𝐵) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 ↔ (𝐹𝑃) ∈ (𝑥𝐵)))
40 sseq2 3611 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑥𝐵) → ((𝐹𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵)))
4140anbi2d 739 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑥𝐵) → ((𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵))))
4241rexbidv 3046 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑥𝐵) → (∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧) ↔ ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵))))
4339, 42imbi12d 334 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑥𝐵) → (((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧)) ↔ ((𝐹𝑃) ∈ (𝑥𝐵) → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵)))))
4443adantl 482 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) → (((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧)) ↔ ((𝐹𝑃) ∈ (𝑥𝐵) → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵)))))
4529, 38, 44ralxfr2d 4847 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (∀𝑧 ∈ (𝐾t 𝐵)((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧)) ↔ ∀𝑥𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ (𝑥𝐵) → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵)))))
4626, 45bitr4d 271 . . . 4 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (∀𝑥𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥)) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐾t 𝐵)((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧))))
47 simprl 793 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝐽 ∈ Top)
482, 31iscnp2 20966 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥)))))
4948baib 943 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥)))))
5047, 30, 11, 49syl3anc 1323 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥)))))
5110, 35fssd 6019 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝐹:𝑋𝑌)
5251biantrurd 529 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (∀𝑥𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥)) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥)))))
5350, 52bitr4d 271 . . . 4 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ ∀𝑥𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥))))
542toptopon 20657 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5547, 54sylib 208 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5631toptopon 20657 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
5730, 56sylib 208 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
58 resttopon 20888 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐵𝑌) → (𝐾t 𝐵) ∈ (TopOn‘𝐵))
5957, 35, 58syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (𝐾t 𝐵) ∈ (TopOn‘𝐵))
60 iscnp 20964 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐾t 𝐵) ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑃𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐾t 𝐵)((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧)))))
6155, 59, 11, 60syl3anc 1323 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐾t 𝐵)((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧)))))
6210biantrurd 529 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (∀𝑧 ∈ (𝐾t 𝐵)((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧)) ↔ (𝐹:𝑋𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐾t 𝐵)((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧)))))
6361, 62bitr4d 271 . . . 4 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐾t 𝐵)((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧))))
6446, 53, 633bitr4d 300 . . 3 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃)))
6564ex 450 . 2 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) → ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃))))
665, 9, 65pm5.21ndd 369 1 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  ∃wrex 2908  Vcvv 3189   ∩ cin 3558   ⊆ wss 3559  ∪ cuni 4407  ran crn 5080   “ cima 5082  ⟶wf 5848  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610   ↾t crest 16013  Topctop 20630  TopOnctopon 20647   CnP ccnp 20952 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7908  df-fin 7911  df-fi 8269  df-rest 16015  df-topgen 16036  df-top 20631  df-topon 20648  df-bases 20674  df-cnp 20955 This theorem is referenced by:  limccnp  23578  limccnp2  23579  dirkercncflem4  39656  dirkercncf  39657  fouriercnp  39776
 Copyright terms: Public domain W3C validator